正線性運算元逼近

正線性運算元逼近(approximation by positive linear operators)是一類常用的逼近，設f∈C[a，b]，如果對一切x∈[a，b]都有f(x)≥0，則記f≥0，設L是C[a，b]到C[c，d]的線性運算元，[c，d]⊂[a，b]，如果對f≥0有L(f)≥0，則稱L為正線性運算元。此時，用L(f，x)在[c，d]上逼近f(x)稱為正線性運算元逼近。

基本介紹

• 中文名：正線性運算元逼近
• 外文名：approximation by positive linear operators
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：函式逼近論(實變函式逼近論)

基本介紹

正線性運算元逼近是一類常用的逼近。設 ，如果對一切 都有 ，則記 。設L是 到 的線性運算元， 如果對 有 則稱L為正線性運算元，此時，用 在 上逼近 稱為正線性運算元逼近。設 是 到的正線性運算元，如果對於，都是次代數多項式，那么稱為n階正多項式運算元。用這種運算元在上逼近函式，其臨界階是。事實上，記那么至少有一個使得時，

這是科羅夫金(Коровкин，Π.Π.)證明的。對於的情形，有類似的概念與結論，只是代替n次代數多項式是n階三角多項式，而三個試驗函式是1，cos x及sin x，正是由於正多項式運算元的逼近階不高於n，所以正多項式運算元雖然是一種良好的逼近方法，但其套用還是有局限性的，不能像代數多項式逼近連續函式那樣，其最佳逼近的階會隨被逼近函式光滑性增加而提高。

相關定理

為了證明正線性運算元序列的一致收斂，只需證明它對於幾個具體的函式一致收斂即可，這就是

定理1 設是中的正線性運算元序列，如果對於在 上一致收斂於則對於每個函式在上一致收斂於。

定理2 設是中的正線性運算元序列，如果對於和在全實軸上一致收斂於則對於每個函式在全實軸上一致收斂於。

性質(A) 記S是緊緻度量空間，設是定義在S上的m個連續實函式，如果存在m個連續的實函式使得在S上，

並且，若且唯若時，，則說具有性質(A)。

定理3 設函式滿足條件(A)，是映照到其自身的正線性運算元序列，如果在S上一致收斂於，則對於任一，在S上也一致收斂於。

定理4 設，則在S上一致收斂於。