基本介紹
- 中文名：正多面角
- 外文名：regular polyhedral angle
- 所屬學科：數學（立體幾何）
- 簡介：面角、二面角都相等的凸多面角
- 性質：一種特殊的多面角
基本概念,相關介紹,
基本概念
多面角(polyhedral angle)又稱“立體角”。過平面外一點O向平面內的簡單多邊形的頂點引射線．所有相鄰射線所夾的平面部分圍成的立體圖形，稱為多面角。點O稱為多面角的“頂點”，射線稱為“棱”，相鄰兩棱所夾的角稱為“面角”，相鄰兩棱所夾的平面部分稱為“側面”，多面角按照它的側面數目分別稱為三面角、四面角等等。如果所給的多邊形是凸的，則相應多面角稱為凸多面角，否則稱為凹多面角。凸多面角的面角和小於四個直角，多面角每相鄰兩個面間的二面角稱為多面角的二面角。凸多面角各二面角之和大於(2n－4)直角，而小於2n直角(n表示棱數)。
若多面角的面角都相等，二面角也都相等，就稱為正多面角(regalar polyhedral angle)，兩個面數相同的正多面角，它們既是對稱多面角又是全等多面角。
圖1
相關介紹
所謂正多面角是指一個凸多面角S-ABCDE (圖1)，它的各面角相等，並且各二面角相等（凸多面角指類似於星狀正多邊形有星狀的正多面角）。
所謂球面正多邊形是指一個球面凸多邊形，它的各邊相等且各角相等。顯而易見，對於頂點在一個球心的正多面角，在球上對應著一個球面正多邊形，並且反過來也成立。
在一個正多面角S-ABCDE中，三面角S-ABC，S-BCD，S-CDE，...是全等的，因為有相等的二面角夾於分別相等的面角之間，且有同向。
但有一個旋轉存在將棱SA帶到SB上，並將棱SB帶到SC上(因為∠ASB=∠BSC)，三面角S-ABC於是取S-BCD的位置，所以SC來到SD上。仿此，SD來到SE上；等等。因此，有一個旋轉存在將正多面角變換為其自身，每一面取下一面的位置。推廣言之，有一個旋轉存在將正多面角變換為其自身，每一面取其後p個的位置：顯然只須重複上面的旋轉p次就行了。
第一個旋轉的角顯然以圓周的n分之一為度量，n表示多面角的面數，因為當我們重複這旋轉n次後，多面角就旋轉了一周重合於自身上。
這樣一個旋轉(把它重複n次相當於旋轉一周)稱為n階的(*我們有時也把一個旋轉稱為n階的，把它重複n次相當於旋轉了若干周。但必須指出，當周數與n不互質時，這旋轉的階數是小於n的)。當一個圖形經過某一2、3、..階旋轉而沒有改變（*這裡是指位置而不是外形沒有改變），就稱為它以這旋轉軸作為2、3、...階的軸。
如果p是n的一個因數，當我們把上面提到的旋轉重複到p次，就得出另外一個旋轉，它的角以圓周的n'分之一為度量，其中，n'代表整數n/p。
因此可看出，一個圖形的n階軸也是這圖形的n'階軸，n'表示n的任一因數。
凡2階軸(因之，由上面所述，凡偶階軸)是的反射軸(奇階軸則不如此)。
多面角的n階軸顯然和所有的棱形成等角：它是這多面角外接迴轉錐的軸。
因此又得出，一個球面正多邊形可內接於一圓，它的頂點顯然將這圓分成相等的部分（*仿此可證明，一個球面正多邊形可外切於一圓）:這就是在繞Sx的旋轉中，它的一個頂點所畫的平行圓。換句話說，如果在正多面角S-ABCDE各棱上，取等長SA = SB= SC= SD=SE，那么這些長度的末端是一個正多邊形的頂點，它的平面垂直於Sx而且中心o在Sx上，因此我們照這樣構成了一個正稜錐。
圖2
直線So顯然在這多面角內：通過點o延長，它便截以S為中心以SA為半徑的球於一點O(圖2)，這點在球面多邊形ABCDE內部，稱為這多邊形的極。它事實上是多邊形外接圓的兩極之一，即在這圓內的那一個(因∠ASO為銳角)。
反之，在一個正稜錐頂點的多面角，容許一些旋轉，換句話說，有一些旋轉存在把它變換為其自身，即那些把錐底變換為其自身的旋轉。另一方面，如果一個多面角容許一個旋轉，在這個旋轉中每一面取下一面的位置，它便可看作為在一個正稜錐頂點的多面角，而且它是正多面角，因為每一面等於下一面，而且每一二面角等於下一二面角。
最後，由於正多邊形都具有在它平面上的對稱軸，所以凡正稜錐，因之凡正多面角，都具有通過以上說過的一些旋轉的軸So的對稱平面。
