次自反空間:定義,線性賦范空間,自反空間,發展,巴拿赫空間,次自反空間的性質,

一個賦范線性空間X稱為次自反(Sub- reflexive)，是指在其單位球面上達到範數的有界線性泛函f∈ X*全體在X*中關於範數拓撲稠。

根據Bishop- Phelps定理容易看到，所有Banach空間都次自反，而對於不完備的賦范線性空間則可能次自反，也可能非次自反。

基本介紹

中文名：次自反空間
外文名：sub-reflexive space
領域：數學
意義：自反空間概念的推廣
基礎：線性賦范空間
實例：巴拿赫空間

定義,線性賦范空間,自反空間,發展,巴拿赫空間,次自反空間的性質,

定義

次自反空間 (sub-reflexive space)是自反空間概念的推廣。設X是賦范線性空間，若X’中在X的閉單位球上達到範數的元素f的全體在X*中稠密(按範數拓撲)，則稱X是次自反的。每個巴拿赫空間都是次自反的。

線性賦范空間

設X為非空集合，K為實數域(或複數域)，如果在X的元素之間定義了加法運算“+”，K中的元素和X的元素之間定義了數乘運算“·”，並且這兩個運算之間滿足以下條件：

X關於加法構成加法交換群，即：

(1)對於一切x、y∈X，x+y∈X。

(2)結合律。對於一切x，y，z∈X，成立：

(x+y)+z=x+(y+z)

(3)在X中存在唯一的元素θ(稱為零元素)，使得對一切x∈X，成立x+θ=x。

(4)對於一切x∈X，存在唯一的x′，使得x+x′=θ(x′稱為x的負元素記為-x)。

(5)交換律。對於一切x，y∈X，x+y=y+x。

數乘運算滿足：

(1)對於一切α∈K，一切x∈X，α·x∈X。

(2)(α+β)·x=α·x+β·x，(α，β∈K，x∈X)。α·(x+y)=α·x+α·y，

(3)α·(β·x)=(αβ)·x，

則(X，+，·)稱為數域K上的線性空間(或向量空間)。線性空間中的元稱為點(或向量)。如果K為實數域(或複數域)，則(X，+，·)稱為實線性空間(或複線性空間)。

設‖·‖是線性空間X→R的映射，如果滿足以下3個條件：

(1)正定性。一切x∈X，‖x‖≥0並且‖x‖=0若且唯若x=θ。

(2)三角不等式。‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖，(∀x，y∈X)。

(3)一次絕對齊性。‖αx‖=|α||x|，(∀α∈K，∀x∈X)，則‖·‖稱為線性空間X上的範數。

當賦準範數的線性空間的準範數是範數時，該線性空間稱為線性賦范空間(或稱B空間)。

如果X是線性賦范空間，則X必定是賦準范的線性空間 (F空間)。

自反空間

設X為線性賦范空間，X*為X的共軛空間，將X*的共軛空間(X*)*記為X**，稱X**為X的第二次共軛空間。

對於一切x∈X，令：

則x**是X*上的有界線性泛函，映射：

τ：x→x**

稱為自然映射。

設X為線性賦范空間，則運算元τ：x→x**是X到X**的保范線性運算元，即：(1)(αx+βy)**=αx**+βy**。(2)‖x**‖=‖x‖。

巴拿赫空間X與它的第二次共軛空間X**的一個閉子空間等距同構。

運算元τ：x→x**把X(同構)嵌入X**。為簡單起見，往往不區別x與x**，把X與τ (X)視為同一，從而X⊂X**，並稱τ為(自然)嵌入運算元。

設X為線性賦范空間，如果X=X**，則稱X為自反空間。

Lp[X，∑，μ](1<p<+∞)是自反空間，而L[X，∑，μ]以及L∞[X，∑，μ]不是自反空間，特別Lp[a，b](1<p<+∞;a，b∈R)是自反空間而L[a，b]以及L∞[a，b]不是自反空間。

設X為自反空間，則X*也是自反空間。

彼茨(B.J.Pettis)定理 設X為巴拿赫空間，則X為自反空間若且唯若X的任何閉子空間均為自反空間。

發展

1963年，R.C.James給出了關於自反空間的一個重要特徵，指出一個Banach空間X自反的充要條件是X上全體有界線性泛函在其單位球面S上達到範數。如果一個Banach空間X不自反，則由R.C.James的結果，一定存在X上有界線性泛函f∈ X*在其單位球面S上不能達到範數。那么對於一般Banach空間的有界線性泛函是否還有進一步特徵呢? E.Bishop和R.Phelps證明了Banach空間X在其單位球面上達到範數的有界線性泛函f∈ X*全體在X*中一定稠。這一結論被稱為Bishop- Phelps定理。根據這個定理，賦范線性空間中的次自反概念也就隨之產生。此外，一個一致凸Banach空間X一定自反，但其逆命題不真。這方面的一個結果是：如果自反Banach空間X的單位球面一致Eberlein緊(UEC)，那么這個空間有一等價各向一致凸(URED)範數。

巴拿赫空間

巴拿赫空間是按範數導出的距離完備的賦范線性空間。設(X，‖·‖)為賦范線性空間.對x，y∈X，ρ(x，y)=‖x-y‖定義了X上的一個距離，使X成為度量空間。如果X按這個距離是完備的，就稱X為巴拿赫空間。L(Ω)(1≤p≤+∞)，C(Ω)，c，c₀等都是巴拿赫空間的例子。

巴拿赫空間(含賦范空間)是1922年巴拿赫(Banach，S.)與維納(Wiener，N.)相互獨立提出的，並且在不到10年的時間內便發展為相當完美而又有多方面套用的理論.1932年，巴拿赫論述這部分理論的《線性運算元理論》一書的問世，是泛函分析作為獨立的數學分支出現的標誌。巴拿赫空間至今仍是泛函分析研究的基本對象之一。