橢圓焦點三角形

定義

橢圓的焦點三角形是指

以橢圓的兩個焦點F₁,F₂與橢圓上任意一點P（不與焦點共線）為頂點組成的三角形。

（1）|PF₁|+|PF₂|=2a

（2）4c²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|·|PF₂|·cosθ

（3）周長=

（4）面積=

（∠F₁PF₂=θ）

設P為橢圓上的任意一點P（不與焦點共線），

∠F₂F₁P=α ，∠F₁F₂P=β， ∠F₁PF₂=θ，

則有離心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ)，

焦點三角形面積

。

證明方法　

對於焦點△F1PF2，設PF₁=m,PF₂=n

則m+n=2a

在△F₁PF₂中,由餘弦定理:

(正弦定理的三角形面積公式)

F1，F2是橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦點，PQ是過F1的一條弦，求三角形PQF2面積的最大值

【解】S△PQF2=S△QF1F2+S△QF1F2=1/2 * |y2-y1| * 2c=c*|y2-y1|

△QF1F2與△QF1F2底邊均為F1F2=2c，之後是聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理表示出|y2-y1|進行分析即可【|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2] 】

請你看下面的一個具體例題，會對你有所啟發的。

設點F1是x^2/3+y^2/2=1的左焦點，弦AB過橢圓的右焦點，求三角形F1AB的面積的最大值。

【解】a^2=3,b^2=2,c^2=3-2=1→→c=1 ∴F1F2=2c=2

假設A在x上方，B在下方直線過(1,0)

設直線是x-1=m(y-0)x=my+1

代入2x^2+3y^2=6(2m^2+3)y^2+4my-4=0→→y1+y2=-4m/(2m^2+3),y1y2=-4/(2m^2+3)

△F1AB=△F1F2A+△F1F2B 他們底邊都是F1F2=2 則面積和最小就是高的和最小（即 |y1|+|y2|最小）

∵AB在x軸兩側,∴一正一負→→|y1|+|y2|=|y1-y2| (y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=16m^2/(2m^2+3)2+16/(2m^2+3) →→|y1-y2|=4√[m2+(2m2+3)]/(2m2+3)=4√3*√(m2+1)]/(2m2+3)

令√(m^2+1)=p 2m^2+3=2p^2+1且p>=1則p/(2p^2+1)=1/(2p+1/p) (分母是對勾函式)

∴p=√(1/2)=√2/2時最小這裡p>=1→→p=1,2p+1/p最小=3