橢圓型方程組

概念

橢圓型方程組(system of elliptic equations) 是描述穩定或定常狀態的一類偏微分方程組。關於自變數x=(x₁，x₂，…，x_n)的N個未知函式的N個2m階線性方程組有如下形式：

其中u，f是具有N個分量的向量函式，

是N×N階矩陣，B是階數低於2m的微分運算元，和式對所有足標k₁，k₂，…，k_2m從0取到n。如果矩陣：

的行列式當ξ²₁+ξ²₂+…+ξ²_n≠0時異於零，則稱這個方程組在點x在彼得羅夫斯基意義下是橢圓型的。如果對任意實向量ζ=(ζ₁，ζ₂，…，ζ_N)≠0和具有：

的任何實數ξ₁，ξ₂，…，ξ_n，二次型：

就稱這個方程組在點x是強橢圓型的。此處符號η·ζ表示N維向量的內積。

分析數學的重要分支之一。包含未知函式及其偏導數的等式叫做偏微分方程。偏微分方程理論研究一個方程(組)是否有滿足某些補充條件的解，有多少個解，解的各種性質及解的求法等。

微積分理論形成後不久，在18世紀初，人們就結合各種物理問題研究偏微分方程。最早引起數學家興趣的是關於弦的振動問題。英國數學家泰勒在1713—1715年就導出了一根張緊的振動弦的基頻。法國數學家達朗貝爾在1747年建立了第一個弦振動方程：

並且得到形如兩個任意函式之和的解：

丹尼爾·伯努利和歐拉等人研究了這個方程的解，並且比達朗貝爾更完整地考慮了解的邊界條件和初始條件。圍繞著解用三角級數表示等問題在18世紀下半葉引起了一場激烈的爭論。

1759年，歐拉考慮矩形鼓和球面波的振動，建立了二維和三維的波動方程。由於對萬有引力的研究，出現了所謂的位勢方程：

它首次出現在歐拉1752年的論文中。拉格朗日和勒讓德，特別是後者對這個方程的解進行了深入研究，由此引出所謂的勒讓德多項式。後來由於拉普拉斯的出色工作而又稱這種方程為拉普拉斯方程。

一階偏微分方程首先出現在幾何問題和流體力學問題的研究中(1740年以後)，蒙日給出一階偏微分方程一般理論的幾何解釋。在流體動力學中還出現了第一個偏微分方程組。19世紀初期，柯西和拉格朗日等解決了一階偏微分方程的求解問題，其基本方法是化為求解一階常微分方程組。

在整個18世紀，對偏微分方程的研究都是處於不自覺的狀態。人們認識到解偏微分方程不需要什麼新的特殊技巧，它與解常微分方程的不同之處在於解中可以出現任意函式。在這一時期，通常認為把它們化為常微分方程後便可求解，對偏微分方程理論的探討還有待深入。

到了19世紀，隨著物理科學所研究的現象在廣度和深度兩方面的擴展，偏微分方程逐漸成為數學研究的中心。不僅出現了一些新的類型，而且已有類型的套用範圍也不斷擴大。

1822年，法國數學家傅立葉在研究熱傳導規律時，發現了(三維)熱傳導方程：

為了在各種定解條件下積分熱傳導方程，傅立葉首先系統地用三角級數的形式表示未知解，由此引起對傅立葉級數的研究。