極大極分解

簡介

線性運算元的極分解是將一有界線性運算元化為部分等距運算元與一正運算元之積的分解。

設T是希爾伯特空間H到希爾伯特空間K的有界線性運算元，記

（它有H上正線性運算元），則存在從H到K中的部分等距運算元U使得T=U|T|，T的這種形式的分解，稱為極分解。

如果還要求kerU=ker|T|，則極分解中部分等距U的選取是惟一存在的。稱一個部分等距運算元是極大的，如果它是一對一的或滿值域的。

設T=U|T|是T的一個極分解，如果U是極大的部分等距運算元，就稱U|T|是T的極大極分解。

每個有界線性運算元都存在極大極分解。

部分等距運算元是等距運算元的推廣。

設H,G是希爾伯特空間，T是H到G的有界線性運算元。如果T在H的子空間M上是等距的，而在M上為0，則稱T是以M為初始空間，以N=TM為終空間的部分等距運算元。

T是以M為初始空間，以N=TM為終空間的部分等距運算元若且唯若T*T和TT*分別是M和N上的正交投影運算元。