植樹問題:植樹問題公式,植樹問題,書上的知識,專題分析,例題,例1,例2,例3,例

為使其更直觀，用圖示法來說明。樹用點來表示，植樹的沿線用線來表示，這樣就把植樹問題轉化為一條非封閉或封閉的線上的“點數”與相鄰兩點間的線的段數之間的關係問題。

基本介紹

中文名：植樹問題
外文名：Problem to plant trees
循環植樹公式：距離÷間隔數=棵數
套用：數學、物理

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植樹問題公式

（兩端都植）：距離÷間隔長 +1=棵數

（只植一端）：距離÷間隔長=棵數

（兩端都不植）：距離÷間隔長－1=棵數

植樹問題

書上的知識

1.植樹問題是在一定的線路上，根據總路程、間隔長和棵數進行植樹的問題。

專題分析

一、線上段上的植樹問題可以分為以下三種情形。

1、如果植樹線路的兩端都要植樹，那么植樹的棵數應比要分的段數多1，即：棵數=間隔數+1。

2、如果植樹的線路只有一端要植樹，那么植樹的棵數和要分的段數相等，即：棵數=間隔數。

3、如果植樹的線路兩端都不植樹，那么植樹的棵數比要分的段數少1，即：棵數=間隔數－1。

4、如果植樹路線的兩邊與兩端都植樹，那么植樹的棵數應比要分的段數多1，再乘二，即：棵樹=段數+1再乘二。

二、在封閉線路上植樹，棵數與段數相等，即：棵數=間隔數。

三、在正方形線路上植樹，如果每個頂點都要植樹。則棵數=（每邊的棵數－1）×邊數。

1 非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形：

⑴如果在非封閉線路的兩端都要植樹，那么：

株數=段數+1=全長÷株距+1

全長=株距×（株數－1）

株距=全長÷（株數－1）

⑵如果在非封閉線路的一端要植樹，另一端不要植樹，那么：

株數=段數=全長÷株距

全長=株距×株數

株距=全長÷株數

例題

例1

單邊兩端植樹：

在一條長20米的路的一邊植樹，每隔5米植一棵，一共需要幾棵樹？

解：

間隔數=全長÷間隔長： 20÷5=4（個）

棵數=間隔數+1 ： 4+1=5（棵）

答：一共需要5棵樹。

例2

直線場地：在一條公路的兩旁植樹，每隔3米植一棵，植到頭還剩3棵；每隔2.5米植一棵，植到頭還缺少37棵，求這條公路的長度。

解法一：（代數解法）

設一共有x棵樹

【（x-3）/2-1】X3=【（x+37）/2-1】X2.5

x=205

公路長:【（205-3）/2-1】X3=300

得:公路長度為300米

解法二：（算術解法）

這道題可以用解盈虧問題的思路來考慮：首先，我們在兩邊起點處各栽下一棵樹，這兩棵樹與路長沒有關係，以後每栽下一棵樹，不論栽在哪一側，植樹的路線（不是路）就增加一個間距，為了簡單起見，我們按單側植樹來考慮。當按3米的間距植樹時，最後剩下3棵，也就是說植樹的路線要比路長出3個間距，3×3=9米，當按2.5米的間距植樹時，最後還缺37棵樹，也就是說植樹的路線比路短了37個間距，2.5×37=92.5米，兩次相差9+92.5=101.5米，兩次植樹的間距相差是3－2.5=0.5米，據此可以求出樹的棵數：（不包括起點的2棵）

101.5÷0.5=203（個）

知道了樹的棵數，就可以求出植樹路線的長度了：

3×（203－3）=600（米）

或2.5×（203+37）=600（米）

因為是雙側植樹，所以路長為：

600÷2=300（米）

綜合算式為：

3×〔（3×3+2.5×37）÷（3－2.5）－3〕÷2=300（米）

或2.5×〔（3×3+2.5×37）÷（3－2.5）+37〕÷2=300（米）

答：（略）

例3

圓形場地（難題）：有一個圓形花壇，繞它走一圈是120米。如果在花壇周圍每隔6米栽一株丁香花，再在每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽2株月季花。可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？每2株緊相鄰的月季花相距多少米

解：

解：根據棵數=全長÷間隔可求出栽丁香花的株數：

120÷6=20 （株）

由於是在每相鄰的2株丁香花之間栽2株月季花，丁香花的株數與丁香花之間的間隔數相等，因此，可栽月季花：

2×20=40（株）

由於2株丁香花之間的2株月季花是緊相鄰的，而2株丁香花之間的距離被2株月季花分為3等份，因此緊相鄰2株月季花之間距離為：

6÷3=2（米）

答：可栽丁香花20株，可栽月季花40株，2株緊相鄰月季花之間相距2米。

例4

在圓形水池邊植樹，把樹植在距離岸邊均為3米的圓周上，按弧長計算，每隔2米植一棵樹，共植了314棵。水池的周長是多少米？（適於六年級程度）

解：先求出植樹線路的長。植樹線路是一個圓的周長，這個圓的周長是：

2×314=628（米）

這個圓的直徑是：

628÷3.14=200（米）

由於樹是植在距離岸邊均為3米的圓周上，所以圓形水池的直徑是：

200-3×2=194（米）

圓形水池的周長是：

194×3.14=609.16（米）

綜合算式：

（2×314÷3.14-3×2）×3.14

=（200-6）×3.14

=194×3.14

=609.16（米）

例5

個人觀點，歡迎探討：（千里獨行）

小明家門前有一條10米長的水溝，在溝的一側每隔2米栽一棵樹，一共可栽幾棵？（兩端都植樹）

按常規解法，答案應該是6（10÷2+1）棵，同理，如果小光家門前也有一段10米長的水溝，同樣可以栽6棵，也就是兩家一共可以栽12棵，這並看不出有什麼不妥。但是，當小明與小光家是鄰居時，我們再計算一下：兩家的水溝總長是20米，20÷2+1=11(棵)，也就是兩家一共可以栽11棵樹，結果比上次計算少了一棵（本人稱之為“鄰里衝突”），這是因為在端點處有兩棵樹“重合”了，這兩棵樹的間距為0，與題中要求間距2米不符，因此，可以看出兩端植樹是不妥當的。但如果兩端都不植樹，又會出現公共點沒有樹鄰近的兩棵樹間距4米的情況，仍與題意不符。那么一端植樹又會怎樣呢？這種要求是無法實現的，因為當一方在與鄰家相接的端點上植上樹後，就會使鄰家地段兩端都有樹存在，還是不合題意。因此，要求在端點上植樹（或不植樹）都會出現矛盾，這樣的計算方法也不能正確的反映出各個數量間的關係。數學是一門嚴謹的科學，出題者固然可以任意給定條件，但用不同的計算方法得出的結果應該是相同的，當計算結果出現矛盾時，應該找出問題的原因所在，不能簡單的用“兩樹重合”來解釋解釋。

再按照“棵樹=段數”的方法計算一下：

小明家可栽樹：10÷2=5（棵）

小光家可栽樹：10÷2=5（棵）

兩家一共可栽樹10棵。

當兩家是鄰居時，可栽樹：（10+10）÷2=10(棵)

兩次計算結果相同，因此可以說這種計算方法才能正確的反映出各個數量之間的關係。

為什麼說常規的解法不夠正確呢？那是因為在常規解法中，只考慮了植樹路段為一家獨有的情況，多栽或少栽一棵都不會出現“爭議”，也就無法判定栽法是否妥當。然而當植樹路段為多家共有時就會出現一方或雙方將樹栽到了公共端點上的情況，從理論上講這是不正確的。相對於“路邊加一”，“樓間減一”也無道理，因為完全可以按“間距2米”栽下5棵而不是4棵樹，至於端點處的兩棵樹與樓相距只有1米的情況，與題意並不矛盾：

1、要求“間距2米”可以認為每棵樹需要2米的生長空間，端點的樹和中間的樹同樣都具有2米的空間；

2、如果把“樓”也看做“樹”而使間距不足，那么則是因為“他”將樹栽倒了公共端點上而侵占了“我”的空間，“我”並沒有栽錯。（點擊圖片可放大）

反過來想，如果要將已有的若干棵樹平均分給幾家，不論這些樹是直線分布還是平面分布，無疑是要把分割點（端點）確定在兩棵樹之間而不是在某一棵樹上，至於在某些情況下（比如劃分衛生分擔區或除雪）將端點確定在路邊現有標誌物（如電桿或樹）上，那是因為分割的對象是“路”而不是“樹”，這時以固有標誌物為界限，具有簡單方便、標誌物不易移動和消失的好處。

“棵數=段數”的算法不僅適用於“路邊”，同樣適用於“樓間”、“四周（圓周）”和“田間”（見下圖，不同顏色代表不同家庭）。