條件分拆函式的同餘性質和組合性質

《條件分拆函式的同餘性質和組合性質》是依託江蘇大學，由夏先偉擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：條件分拆函式的同餘性質和組合性質
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：夏先偉
• 依託單位：江蘇大學

項目摘要

條件分拆函式的同餘性質和組合性質是當前組合數學、q-級數和數論的研究熱點之一。本項目旨在利用代數組合方法和計算機代數研究broken k-diamond分拆函式、k-colored generalized Frobenius分拆函式和t-core分拆函式的同餘性質和組合性質。主要包括：（1）利用theta函式恆等式、模形式、二次剩餘和差分方程理論，發現broken k-diamond分拆函式和k-colored generalized Frobenius分拆函式的無窮族同餘關係、模素數高次冪的同餘關係和奇異型同餘關係，證明相關猜想；（2）利用Hardy-Ramanujan圓法和Lehmer誤差估計理論，建立broken k-diamond分拆函式、k-colored generalized Frobenius分拆函式和t-core分拆函式的漸進公式，證明不等式，刻畫三類分拆函式的組合性質。

結題摘要

條件分拆函式是當前組合數學、q-級數和數論的研究熱點之一，該課題吸引了包括沃爾夫獎獲得者Dyson教授和美國科學院院士Andrews教授在內的眾多知名學者的研究興趣。按照研究計畫，我們主要對條件分拆函式的同餘性質、組合性質和q-級數的傅立葉展開係數符號的周期性等問題展開了研究工作，取得了較好的研究成果，在《Proc. Royal Soc. Edinb. Sec. A Math.》、《J.Number Theory》、《Acta Arith.》、《Ramanujan J.》等期刊上發表了研究論文21篇，解決了多個猜想。其中有1篇論文入選ESI高被引論文。在條件分拆函式同餘性質方面，我們刻畫了整數分拆理論中幾類重要的條件分拆函式的同餘性質，例如overpartition、broken k-diamond 分拆函式、廣義k著色的Frobenius分拆函式、t-core和t-regular分拆函式。我們給出統一的方法建立某些分拆函式的非平凡非線性同餘關係和包含無窮多個素數的無窮族同餘關係。作為套用，我們建立了某些條件分拆函式的新的非線性同餘關係，如Andrews院士提出的spt分拆函式。此外，我們還解決了由新加坡國立大學教授Heng Huat Chan、新南威爾斯大學教授Hirschhorn、賓州州立大學教授Sellers等人提出的多個猜想。在研究過程中，我們主要利用了Newman理論、theta函式恆等式、theta函式的分塊公式、二次型理論和Lucas序列的性質。在組合性質方面，我們給出統一的方法研究了n次根號下函式列的組合性質。該方法主要依賴於這個函式列前後項比率的上界、下界和一個中間函式。我們還給出了一個方法用於構造這些上界、下界和中間函式。作為套用，我們刻畫了某些n次根號下函式列的組合性質，解決了Sun提出的多個猜想。在q-級數的傅立葉展開係數的性質方面，我們利用Ramanujan’s theta函式恆等式和計算機軟體包，研究了某些無窮乘積的傅立葉展開係數符號的周期性。該方法不但能對已知的結果給出統一的證明方法，還能夠發現新的結果。此外，我們還利用theta函式的(p,k)參數公式和q-級數恆等式，研究了表示整數為平方數之和的表示方法數與表示整數為三角數之和的表示方法數之間的關係，從而證明了多個猜想。