梅欽類公式

梅欽類公式（英語：Machin-like formula）是數學中計算圓周率的一個常用技巧，它是梅欽公式的推廣。

基本介紹

• 中文名：梅欽類公式
• 外文名：Machin-like formula
• 分類：數理科學

形式

梅欽公式的形式為

梅欽依據此公式，把圓周率計算到一百多位小數。

梅欽類公式的形式為：

其中， 和 為正整數，且 ， 為非零整數，且 為正整數。

梅欽類公式的套用可結合反正切函式的泰勒級數展開：

導出

根據角的和差公式，

若 有

反覆套用這一方程，可得到所有的梅欽類公式，比如最初的梅欽公式：

用梅欽公式編程計算圓周率(C++)

#include<cstdio>#include<iostream>using namespace std;/* 本程式每四位數輸出，如果請求計算的位數不是4的整數倍，最後輸出可能會少1~3位數 */int main(void){    long a[2]={956,80},b[2]={57121,25},i=0,j,k,p,q,r,s=2,t,u,v,N,M=10000;    printf("%9cMachin%6cpi=16arctan(1/5)-4arctan(1/239)" \        "\nPlease input a number.\n",32,32);    cin>>N,N=N/4+3;    long *pi=new long[N],*e=new long[N];    while(i<N)        pi[i++]=0;    while(--s+1)    {        for(*e=a[k=s],i=N;--i;)            e[i]=0;        for(q=1;j=i-1,i<N;e[i]?0:++i,q+=2,k=!k)        for(r=v=0;++j<N;pi[j]+=k?u:-u)            u=(t=v*M+(e[j]=(p=r*M+e[j])/b[s]))/q,r=p%b[s],v=t%q;    }    while(--i)        (pi[i]=(t=pi[i]+s)%M)<0?pi[i]+=M,s=t/M-1:s=t/M;    for(cout<<"3.";++i<N-2;)printf("%04ld",pi[i]);    delete []pi,delete []e,cin.ignore(),cin.ignore();    return 0;}