梅森公式

梅森公式

梅森公式,或稱梅森增益公式,是在控制理論、自動化領域用於求取系統傳遞函式的公式。套用梅森公式將大大簡化結構變換的計算,但當系統結構比較複雜時,很容易判斷錯誤前向通道、迴路、餘子式的數目,因此常常將梅森公式和結構圖變換結合起來用。也經常用兩種方法互相驗算。

基本介紹

  • 中文名:梅森公式
  • 外文名:Mason's gain formula 
  • 基本概念:用於求取系統傳遞函式的公式
  • 相關概念:傳遞函式、信流圖
  • 相關領域:控制理論、自動化
  • 重要步驟:確定前向通道
定義,公式,參數詳細說明,計算步驟,舉例,注意事項,

定義

系統傳遞函式
線性定常系統的傳遞函式,定義為零初始條件下,系統輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。
如對於典型的反饋系統,
梅森公式
則經過整理,其傳遞函式為:
其中G(s)稱為開環傳遞函式,G'(s)稱為閉環傳遞函式;對於如圖所示的系統,沒有特殊聲明,傳遞函式一般指閉環傳遞函式
結構圖與信號流圖
為了抽象的表示系統,在控制領域中引入結構圖以及信號流圖兩種常用形式來表示系統。
結構圖,或形象的稱為方框結構圖,就是由許多對信號進行單向運算的方框和一些信號流向線組成的,其基本單元包括:信號線、引出點、比較點、方框。如上一節傳遞函式插圖即為結構圖。
信號流圖,起源於梅森利用圖示描述一個或一組線性代數方程式,它是由節點和支路組成的一種信號傳遞網路。其中,節點標誌系統的變數,支路相當於乘法器,信號只能沿箭頭單向傳遞,給定系統的信號流圖不唯一。
梅森公式

公式

由於結構圖或信號流圖都可以完整的表征整個系統,並且有著方便直觀的化簡方法,所以可以通過這兩種圖來求取系統的傳遞函式,但是當圖過於龐大複雜,一點一點去化簡就顯得十分麻煩,為此在控制工程中常用梅森增益公式來直接求取系統的傳遞函式。
梅森公式如下,
其中,
n——為前向通道總數;
P——系統總傳遞函式;
,稱為系統的特徵式
pk——表示第k條前向通路的總增益;
k——表示第k條前向通路的余因子式。

參數詳細說明

特徵式
△ ——特徵式中第二項表示所有單獨迴路增益之和,第三項表示每兩個互不接觸迴路增益乘積之和,第四項表示每三個互不接觸迴路增益乘積之和,以此類推;
其中:
L1 —— 所有不同迴路的傳遞函式之和;
L21L22 —— 所有兩兩不接觸迴路傳遞函式乘積之和(三個迴路兩兩不接觸不代表三個迴路互不接觸);
L31L32L33 —— 所有三個互不接觸迴路傳遞函式乘積之和;
以此類推。
前向通路特徵式的餘子式
k——第k條前向通路特徵式的餘子式,即對於流圖的特徵式△,將與第k條前向通路相接觸的迴路
傳遞函式代以零值,餘下的即為△k
迴路傳遞函式
迴路傳遞函式是指反饋迴路的前向通道和反饋通道傳遞函式的乘積,包含反饋極性的正、負號。

計算步驟

①確定前向迴路總數n;
②計算所有迴路增益L;
③計算互不接觸迴路Lmn
④計算
⑤計算餘子式△k;
⑥綜合結果得到傳遞函式。

舉例

以上方信號流圖為例(打開圖片以查看),
梅森公式
計算過程如下圖所示,
確定前向迴路總數n=4;
計算所有迴路增益L
計算互不接觸迴路
計算
計算餘子式△k
綜合結果得到傳遞函式
所以

注意事項

(1)n條前向通道數是指從輸入信號至輸出信號前向通道的總數,不要漏掉,不要重複,也不要錯劃。注意信號傳遞的單向性。
(2)單獨迴路數和互不接觸迴路數不要漏掉,亦不要重複。△和△k應計算無誤。
(3)反饋的極性應體現在傳遞函式的正負上,一定要注意符號。
(4)梅森公式只能用於輸入節點與輸出節點之間。

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