格點

定義

數學上把在平面直角坐標系中橫縱坐標均為整數的點稱為格點(lattice point)或整點。

1、格點多邊形的面積必為整數或半整數（奇數的一半）。

2、格點關於格點的對稱點為格點。

3、格點多邊形面積公式

設某格點多邊形內部有格點a個，格點多邊形的邊上有格點b個，該格點多邊形面積為S，

則根據皮克公式有S=（a+b）/2-1。

4、格點正多邊形只能是正方形。

5、格點三角形邊界上無其他格點，內部有一個格點，則該點為此三角形的重心。

格點問題就是研究一些特殊區域甚至一般區域中的格點的個數的問題。

格點問題（problem on lattice point）又稱整點問題

格點問題起源於以下兩個問題的研究：
①狄利克雷除數問題，即求x>1時D²（x）=區域{1≤u≤x，1≤v≤x，uv≤x}上的格點數。

1849年，狄利克雷證明了D²（x）=xlnx+（2ν一1）x+△（x），這裡ν為歐拉常數，△（x）=O（x^0.5）。

這一問題的目的是要求出使餘項估計△（x）=O（x）成立的又的下確界θ₀。
②圓內格點問題，設x>1，A²（x）=圓內μ+ν≤x上的格點數。

高斯證明了A²（x）=πx+R（x），這裡R（x）=O（x^1/2）,求使餘項估計R（x）=O（x）成立的λ的下確界α的問題，稱之為圓內格點問題或高斯圓問題。
1903年，Г.Ф.沃羅諾伊證明了θ≤1/3；

1906年，謝爾品斯基證明了α≤1/3；

20世紀30年代，J.G.科普特證明了α≤37/112，θ≤27/82；

1934-1935年，E.C.蒂奇馬什證明了α≤15/46；

1942年，華羅庚證明了α≤13/40；

1963年，陳景潤、尹文霖證明了α≤12/37；

1950年，遲宗陶證明了θ≤15/46；

1953年，H.里歇證明了同樣的結果；

1963年，尹文霖證明了θ≤12/37；

1985年，Г.A.科列斯尼克證明了θ≤139/429；

1985年，W.G.諾瓦克證明了α≤139/429。

在下限方面，

1916年，哈代證明了α≥1/4；

1940年，A.E.英厄姆證明了θ≥1/4。