格爾豐德-施奈德定理

格爾豐德-施奈德定理（Gelfond–Schneider theorem）是一個可以用於證明許多數的超越性的結果。這個定理由Aleksandr Gelfond和Theodor Schneider在1934年獨立證明，它回答了希爾伯特第七問題。

如果α和β是代數數，其中α≠0且≠1，且β不是有理數，那么任何α^β的值一定是超越數。

基本介紹

• 中文名：格爾豐德-施奈德定理
• 外文名：Gelfond–Schneider theorem
• 提出者：Gelfond,  Schneider
• 提出時間：1934年
• 套用學科：數學，實分析

定理定義

如果α和β是代數數，其中α≠0且≠1，且β不是有理數，那么任何α^β的值一定是超越數。

定理評論

和不限於實數；它們可以是複數。 一般地，是多值的，其中“log”表示複數對數。 該定理的一個等價的表述是：如果和是非零的代數數，那么要么是有理數，要么是超越數。 如果沒有是代數數的限制，這個定理就不一定成立。例如，如果，，那么，它是代數數。

驗證推導

證明複雜，詳情見參考資料1

套用例子

利用這個定理，立刻就可以推出以下實數的超越性：

格爾豐德-施奈德常數2^sqrt(2)和格爾豐德-施奈德常數的平方根sqrt(2)^sqrt(2)