根系(數學名詞)

根系是李代數中的一個概念。

基本介紹

• 中文名：根系
• 外文名：root system
• 所屬學科：李代數

定義

設V為域ℝ上有限維向量空間。

設R⊂V，R稱為V的根系，若滿足以下條件：

(1)R為有限集，R為V的生成集，且0∉R。

(2)對∀α∈R，存在唯一對稱s_α，使得R不變。

(3)對∀α,β∈R，s_α(β)-β是α的整數倍。

R中元稱為V的根。

對稱

設α∈V，α≠0。則α對應的對稱為V的自同構s，並滿足s(α)=-α，且若H為V的在s下不變的子集，則H為V的超平面。

性質

H為α生成的直線ℝa的補，且s為2階。對稱s完全由ℝa或H決定。

設V*為V的對偶空間，α*∈V*，且<α*,H>=0，<α*,α>=2，則

s(x)=x-<α*,x>α，∀x∈V。

利用End(V)≅V*⨂V，可表達為s=1-α*⨂α。

反之，若α∈V，α*∈V*，滿足<α*,α>=2，則1-α*⨂α為α對應的對稱。