根理想

概念

設R是交換麼環. I是R的理想.我們可以通過I來構造更大的理想√I:

a∈√I 若且唯若存在某個正整數n,使得方冪a^n∈I. 我們稱√I為I的根理想.

例子

1. R=F[x]是域F上的多項式環， I=(x^2)是由x^2生成的多項式理想， 那么√I=(x), 即由x生成的理想.

2. R=Z是整數環, I=(27)是由27的倍數構成的主理想， 那么√I=(3)是素理想.

性質

1. I總是含於√I內.

2. 根理想的根理想就是根理想本身.

外延概念

一個理想I稱作準素理想， 如果它的根理想是素理想. 一個理想可以唯一分解為準素理想的乘積--這是整數上的算術基本定理的推廣。

與幾何的聯繫

希爾伯特定理表明， 代數簇的範疇與根理想的範疇之間存在一一對應關係。

從方程角度看， 根理想相當於把那些多項式的方冪開根後也納入到理想之中。