李型單群

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

李型單群(simple group of Lie type)是一類重要的特殊單群。謝瓦萊單群和單扭群統稱為李型單群。任意域上的李型單群是按複數域上的單李群仿造出來的。復單李群對應於復單李代數。由於存在謝瓦萊基，復單李代數可以改造成為任意域上的李代數，謝瓦萊群就被定義為這個李代數的自同構群的某個子群。

基本介紹

• 中文名：李型單群
• 外文名：simple group of Lie type
• 領域：代數
• 性質：特殊單群
• 內容：謝瓦萊單群和單扭群
• 命名來源：挪威數學家S.李

概念介紹

李型單群(simple group of Lie type)是一類重要的特殊單群。謝瓦萊單群和單扭群統稱為李型單群。任意域上的李型單群是按複數域上的單李群仿造出來的。復單李群對應於復單李代數。由於存在謝瓦萊基，復單李代數可以改造成為任意域上的李代數，謝瓦萊群就被定義為這個李代數的自同構群的某個子群。由李代數的鄧金圖的非平凡對稱可以得到相應的謝瓦萊群的自同構，扭群就是在這個自同構下不變的某些元素所生成的群。有限域上的李型單群組成了最主要的有限單群系列。

群

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

單群

單群是一類重要的群。即不含非平凡正規子群的群。若群G≠{e}，且除{e}及G本身外不再含其他的正規子群，則稱G為單群。若此時G還是有限群，則稱G為有限單群。有限單群的例子有：素數階群，交錯群A_n，n≥5。有限單群的研究是有限群論中一個十分活躍的領域。

單李群

單李群是與單李代數相應的李群。設G為連通李群，若它的李代數為單李代數，則G稱為單李群。若G為單李群，且G₁為G之真正規李子群，則G₁為G之中心中離散子群。特別地，單李群之中心由有限或可數個元素構成。若G為半單李群，則G有單正規子群G₁，G₂，…，G_s，使得G_i為閉子群，且G=G₁G₂…G_s為半直乘積，即G_i∩G_jC(G)，且G_i中元素和G_j中元素可交換。於是，半單李群的結構問題化為單李群的結構問題。

謝瓦萊群

謝瓦萊群是與一類特殊李代數密切相關的群。設L是複數域上單李代數，Π是L的基礎根系，Φ是L的根系，

是L的嘉當分解。根據謝瓦萊基定理，可以取嘉當子代數的基{h_α|α∈Π}及每個根子空間L_r的基e_r，使L關於基{h_α，e_r|α∈Π，r∈Φ}的乘法常數全是有理整數.這組基的整係數線性組合的全體L_Z，按L的李乘法構成有理整數環Z上一個李代數.對任意域K，可將加群L_K=KL_Z定義成一個李代數，使[1_Kx，1_Ky]=1_K[x，y].對任意r∈Φ與t∈K，ad(te_r)：x→[te_r，x]是L_K的冪零微分，

是L_K的自同構。所有的x_r(t)(r∈Φ，t∈K)生成的群L(K)是L_K的自同構群的一個子群，稱為K上的謝瓦萊群。每個x_r(t)(t∈Φ，t∈K) 稱為L(K)的根元素，而X_r={x_r(t)|t∈K}稱為L(K)的根子群。當L分別是A_l(l≥1)，B_l(l≥2)，C_l(l≥3)，D_l(l≥4)，E_l(6≤l≤8)，F₄，G₂型李代數時，分別得到謝瓦萊群A_l(K)，B_l(K)，C_l(K)，D_l(K)，E_l(K)，F₄(K)，G₂(K)。其中A_l(K)，B_l(K)，C_l(K)，D_l(K)分別同構於典型群PSL_l+1(K)，PΩ_2l+1(K，Q_B)(Q_B的指數=l)，PSp_2l(K)，PΩ_2l(K，Q_D)(Q_D的指數=l)。當K是q元有限域時，也將L(K)簡記為L(q)。除A₁(2)，A₁(3)，B₂(2)，G₂(2)外，謝瓦萊群都是單群。

扭群

扭群是謝瓦萊群的重要子群。設單李代數L=A_l，D_l，E₆，B₂，G₂或F₄，它的鄧金圖有非平凡的對稱ρ，ρ的階n=2或3.設K是域，且當L=B₂或F₄時K是特徵2的完全域;當L=G₂時K是特徵3的完全域.若G=L(K)是K上L型謝瓦萊群，則存在G的自同構g，稱為圖自同構，將每個基礎根α∈Π對應的根子群X_α變為基礎根ρ(α)對應的根子群X_ρ(α).域K的每個自同構τ也決定G的一個自同構，稱為域自同構並仍記為τ，將每個根元素x_r(t)變為x_r(t).圖自同構g與每個域自同構τ相交換，它們的乘積σ=gτ仍是G的自同構.選取非平凡的域自同構τ使σ=gτ與ρ具有相同的階n，即σ=1.所有的正根r∈Φ對應的根子群X_r生成G的子群U，所有的負根r∈Φ對應的根子群X_r生成子群V.又，若

U={x∈U|σ(x)=x}，

V={x∈V|σ(x)=x}，

則U與V生成的子群記為L(K)，稱為扭群。當n=2時，L(K)稱為K上L型扭群，包括A_l(K)，D_l(K)，E(K)，B₂(K)，G₂(K)，F₄(K)；當n=3時，L(K)為D₄(K)，稱為K上D₄型三次扭群.群B₂(K)又稱為鈴木群；群G₂(K)，F₄(K)又稱為雷群.群A_l(K)同構於酉群PSU_l+1(K，f)，f的指數為(l+1)/2(當l奇)或l/2(當l偶).群D_l(K)同構於正交群PΩ_2l(K₀，Q)，其中K₀是域自同構L的不變子域，Q的指數為l-1.當K是q元域時可將L(K)簡記為L(q).除A₂(2)，B₂(2)，G₂(3)，F₄(2)外，扭群都是單群。