朗肯狀態

朗肯土壓力理論主要是基於彈性半空間體在極限平衡狀態下應滿足的極限平衡條件而提出的土壓力計算方法，是土力學中一個重要內容。

基本介紹

• 中文名：朗肯狀態
• 外文名：Rankine's state
• 學科：土木工程
• 領域：建築
• 範圍：土力學
• 理論：壓力理論

簡介

朗肯土壓力理論主要是基於彈性半空間體在極限平衡狀態下應滿足的極限平衡條件而提出的土壓力計算方法，是土力學中一個重要內容。但在許多文獻中，普遍存在兩個問題，一是對朗肯理論的基本假設和應力狀態之間的關係闡述過少；二是僅對牆後填土處於兩種極限平衡狀態時，提出了填土壓力的計算方法，卻極少對土的應力狀態的變化過程進行分析。只有從土應力狀態的動態變化的觀點出發，才能真正理解朗肯土壓力理論。針對這兩個問題加以分析和研究。

朗肯理論的基本假設與應力狀態之間的關係

朗肯理論的基本假設：

(1)牆為鋼體；

(2)牆背垂直光滑；

(3)填土表面水平。

那么假設(1)保證擋土牆本身不會發生任何形式的變形；假設(2)能夠保證填土的任一垂直面上不存在摩擦力；假設(3)保證整個填土體與半空間彈性體在空間形狀上的一致性。假設(1)、(3)容易理解，下面對假設(2)與應力狀態之間的關係進行分析。在擋土牆高度範圍內，填土表面下任一深度Z 處，有一與牆背接觸的單元體A。

由於牆背垂直光滑，那么單元體Ⅰ與牆背接觸的那個面上就不存在摩擦力；由於填土處於彈性平衡狀態，那么單元體Ⅰ、Ⅱ都處於靜止平衡狀態，則單元體A 與單元體Ⅱ接觸的另一個垂直面上也不存在摩擦力。這樣，假設(2)就可以保證填土的任一垂直面上不存在摩擦力，從而在任一垂直面上也不存在剪應力。根據剪應力互等定理，擋土牆高度範圍內，任一水平面的剪應力亦為零。這樣，表面水平的填土體中的應力狀態就與半空間彈性體中的應力狀態一致，即任一單元體的水平面和垂直面上的正應力分別是大小主應力。

主動土壓力強度與土的應力狀態之間的關係

當擋土牆沒有任何位移時，整個填土體在各點處的應力狀態和沒有建造擋土牆時與填土性質完全相同的天然土體中相應各點處的應力狀態是完全一致的，即處於初始的彈性平衡狀態。在填土表面下深度Z 處取一單元體A,那么作用在該單元體的水平面和垂直面上的應力為：

σz =σ1 =RZ σx =σ3 = K0RZ

式中：σz——地表下Z 深度處的自重應力；

σ1——作用於單元體A 的大主應力；

σx——作用於單元體A 的側壓力；

σ3——作用於單元體A 的小主應力；

K0 ——靜止土壓力係數；

R ——牆後填土重度；

Z ——計算點在填土下的深度。

根據上面的分析可知，在正常固結土中，σz=σ1=RZ, σ3 =σx= K0RZ，該單元體的應力狀態可用莫爾圓Ⅰ表示。由於該點處於彈性平衡狀態，故莫爾圓Ⅰ沒有與抗剪強度包線相切。當擋土牆在土壓力作用下向前移動或繞牆趾轉動，牆后土體在水平方向上有拉伸趨勢，在擋土牆的位移由零發展到牆後填土達到主動極限平衡狀態時對應的位移量Δa 的過程中，σz=σ1 =RZ,保持不變；σx =σ3逐漸減小，且無法用解析法計算σ3的確定值。

擋土牆在位移過程中某一時刻單元體A 的應力狀態可用莫爾圓來表示。當擋土牆位移增大到某一極限值時，即Δ－Δa 時，牆后土體在某一範圍內達到主動極限平衡狀態。由於牆底以下的土有摩擦作用，不可能在整個土體中都達到極限平衡狀態，這時，σ3達到最小值，即σx =σ（3 min），而土的自重應力σz是大主應力卻是不變的，即：

σz=σ1 =RZ σx =σ（3 min）

式中：σz——地表下Z 深度處的自重應力；

σ1——作用於單元體A 的大主應力；

R ——牆後填土重度；

Z ——計算點在填土下的深度；

σx——作用於單元體A 的側壓力；

σ（3 min）——主動土壓力狀態下土體剪下破壞時的最小主應力。

根據極限平衡條件可求出σ3 , 就是主動土壓力強度。這時對應的極限應力圓可用圓Ⅲ來表示，圓Ⅲ與抗剪強度包線相切。這時填土中會形成一系列的滑裂面，面上各點都處於極限平衡狀態，滑裂面與大主應力面的夾角是θ=45°+φ/2，莫爾圓上切點與小主應力σ3的連線與σ軸的夾角即是θ。

被動土壓力強度與土的應力狀態之間的關係

如前所述，當擋土牆不發生位移時，整個土體處於彈性平衡狀態，在牆高範圍內任一深度Z 處的應力為σz=σ1 =RZ, σx =σ3 = K0RZ。當擋土牆向填土方向移動，土體在水平方向上被壓縮，則σ3不斷增大，而σ1保持不變。當σ3<σ1 時，由於σx =σ3,莫爾圓半徑逐漸減小，在該過程中的某一時刻單元體A 的應力狀態可用莫爾圓Ⅳ表示；當σ3 =σ1時,莫爾圓縮成一個點，即圖2 中的A 點，這時單元體在所有的方向上只作用相等的正應力σz，而剪應力Τ為零，所以在這種應力狀態下，單元體不會發生剪下破壞。當σ3隨著擋土牆的位移逐漸增大且大於σ1時，大小主應力的方向發生了變化，這時:σ1是土中的大主應力，而σ3 =σz = RZ 保持不變。這樣就可根據極限平衡條件求出σ1（max）即被動土壓力強度。其莫爾圓可用圓Ⅵ來表示，與抗剪包線相切。相應的填土體中形成一系列的滑裂面，滑裂面與水平面的夾角是θi=45°-φ/2，莫爾圓上切點與大主應力σ1的連線與σ軸的夾角，即是θi。

總結

針對現有文獻中關於朗肯土壓力理論存在的兩個問題，提出了土應力狀態動態分析的觀點，通過對朗肯理論基本假設、主動土壓力強度、被動土壓力強度和土的應力狀態之間的關係的分析，得出如下結論：在擋土牆的位移過程中，土中任一點的主應力也隨之發生變化。