有限階賦值環

有限階賦值環(valuation ring of finite rank)是賦值環的特殊類。具有有限個非零真素理想的賦值環，稱為有限階賦值環。只有一個非零真素理想的賦值環稱為一階賦值環。若φ為域F的賦值，則φ的階就是它的賦值環的階。

基本介紹

• 中文名：有限階賦值環
• 外文名：valuation ring of finite rank
• 領域：數學
• 學科：環類
• 性質：賦值環的特殊類
• 定義：有限個非零真素理想

環

對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集：

的全體構成的集類，則F是R上的一個環.環也是對於交與對稱差運算封閉的集類，並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質。環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。

賦值環

賦值環是一種特殊的局部環。也是重要的交換環類。交換環R稱為賦值環，是指它滿足以下等價條件之一：

1.對任意a，b∈R，恆有a∈Rb或b∈Ra，換言之，必有a整除b或b整除a。

2.R的所有理想(對於包含關係)組成線性序集。

3.R是局部環且任意有限生成理想是主理想.滿足條件3的環也稱為貝祖特環。

賦值環是交換的特殊序列環。它與戴德金環有密切的關係。事實上，交換諾特局部整環是賦值環若且唯若它是戴德金環。賦值環上的模具有良好的分解性質，馬特利斯(Matlis，E.)於1957年證明：賦值環R上任意有限生成模M的內射包E(M)是有限個不可分解內射模的直和，或等價於M有有限哥爾迪維數。賦值環R上任意有限表示模是循環表示模的直和，從而推廣了卡普蘭斯基(Kaplansky，I.)的工作。

局部環

它和半局部環分別是完全準素環和半準素環概念的推廣。環R(≠0)中，若不可逆元(即非單位)集A對於加法是封閉的，則R稱為局部環。以下性質是等價的：

1.R是局部環。

2.R中不可逆元的集A是(雙邊)理想。

3.A是極大左(右)理想。

4.對於任意r∈R，r或1-r必是左(右)可逆元。

5.R的雅各布森根J(R)是極大左(右)理想。

6.R/J(R)是除環。

7.J(R)=A={x∈R|Rx≠R}(x稱為非生成子)。

若R/R(J)是半單的，則稱R是半局部的。局部環的概念對於模的分解性質十分重要。對於任意R模M，若M的自同態環End(M)是局部的，則M是不可分解的。反之，若M是不可分解且是內射的，則End(M)是局部環。東屋五郎(Azumaya，G.)曾利用局部環的概念，把古典的克魯爾-銳瑪克-施密特定理推廣為項數可以是無窮的情形。局部環也具有特殊的同調性質。卡普蘭斯基(Kaplansky，I.)於1958年證明：對於局部環R，任意R投射模是R自由的。

素理想

素理想是一類特殊理想。它是整數環中素數生成理想的推廣。設P是環R的理想，對R中任意理想A，B，若ABP必有AP或BP，則稱P為R的素理想。它等價於對x，y∈R，若xRyP則x∈P或y∈P.當R是交換環時，P是R的素理想若且唯若對R中任意元素a，b，若ab∈P，則a∈P或b∈P.素理想在交換環的理想理論中有重要作用。若對任意環R，a，b∈R，由ab∈P得出a∈P或b∈P，則稱P為R的完全素理想。因此，對交換環來說，素與完全素概念是一致的。