有理表示(rational representation)是代數群表示理論研究的對象。代數群G到GL(V)(同構於GL(n，K))的代數群同態稱為G的一個有理表示，這裡V是K上的n(<∞)維向量空間，稱為一個有理G模。
基本介紹
- 中文名：有理表示
- 外文名：rational representation
- 領域：數學
- 學科：群論
- 性質：代數群表示理論研究的對象
- 模：有理G模
概念,代數群,群論,同態,
概念
有理表示(rational representation)是代數群表示理論研究的對象。代數群G到GL(V)(同構於GL(n，K))的代數群同態稱為G的一個有理表示，這裡V是K上的n(<∞)維向量空間，稱為一個有理G模。
代數群
代數群是具有某種拓撲結構的群。代數群理論是群論與代數幾何學結合的產物，可以看成李群理論的推廣或者同李群理論平行的一個群論分支。若G是代數閉域K上的代數簇，又具有群的結構，且乘法運算G×G→G(這裡的“×”表示簇的扎里斯基(Zariski，O.)積)與求逆運算G→G都是簇的態射，則稱G為代數群。若G作為簇是不可約的，則稱此代數群是連通的。代數群的閉子簇若同時也是個子群，則稱為閉子群，它仍是個代數群。代數群關於它的正規閉子群的商群也是個代數群。例如，K上n級一般線性群(K上n級非奇異矩陣全體所成的群)GL(n，K)是代數群；K上n次特殊線性群(K上行列式1的n階矩陣全體所成的群)SL(n，K)是GL(n，K)的閉子群。若代數群G的簇結構是仿射的，則稱G為仿射代數群或線性代數群。採用後一術語的理由是，這種群都同構於某個GL(n，K)的閉子群.若G的簇結構是完備的，則稱G為阿貝爾簇。阿貝爾簇的群結構很簡單(都是阿貝爾群)，且被簇結構惟一決定，因此它的研究屬於代數幾何學的範疇。另一方面，對任意代數群G，總可以惟一地找到一個正規的仿射閉子群N，使G/N是阿貝爾簇.因此，代數群理論研究的主要是仿射的(即線性的)代數群，並把仿射代數群簡稱代數群。代數群及其表示理論與域論、多重線性代數、交換環論、代數幾何、李群、李代數、有限單群理論以及群表示理論等數學分支都有十分密切的聯繫，是近年來代數學的一個相當活躍的分支。
群論
代數學的一個分支。群是數學中廣泛存在的一個重要概念。它的出現始於18世紀末。19世紀中葉，凱萊(Cayley，A.)首先給出了群的公理化定義，後來在物理、化學等學科中找到了重要的套用。例如，一個集合的所有置換構成一個群，又如，數學的某些系統或其他系統的自同構群等。因而，作為獨立數學分支的群論是在其他研究工作中逐漸形成的。群的定義常見的有如下兩種：
1.群G是一個非空的元素集合，具有一個稱為“乘法”的二元運算(即對任意的a，b∈G，存在惟一的c∈G使得ab=c)，且滿足：
1)結合律，即(ab)c=a(bc)，a，b，c∈G。
2)存在單位元e，即存在元素e∈G，a∈G，有ea=ae=a。
3)存在逆元，即對任意的a∈G，存在元素a∈G，使得a-1a=aa-1=e。
2.群G是一個具有“乘法”的二元運算的非空元素集合，且滿足：
1)結合律。
2)對任意的a，b∈G，都存在惟一的G中元素x，y，滿足ax=b，ya=b。
上述第一個定義作為公理系統並不獨立，可以去掉2)和3)中相應的各一半。第二個定義是由蘇聯數學家庫洛什(Курош，А.Г.)最先提出的。
由於群的抽象性，儘管群廣泛存在，並且早在歐幾里得(Euclid)時代，群的思想在《幾何原本》中已經出現，但卻遲至18世紀末期才真正萌生群的概念。此後，直到19世紀中葉是群論的孕育時期，拉格朗日(Lagrange，J.-L.)、柯西(Cauchy，A.-L.)、伽羅瓦(Galois，E.)、西洛(Sylow，L.)等人的工作中已包含了豐富的群論思想與基本結果.特別地，在伽羅瓦關於代數方程的傑出研究中運用現代群論的這些基本思想與結論，顯示了巨大威力，這是數學史上的重要一頁。1854年，凱萊第一次給出了群的公理化定義後，1870年出版了由若爾當(Jordan，M.E.C.)撰寫的第一本有影響的群論著作，群論才真正成為一個獨立學科。此後，克萊因(Klein，C.F.)從幾何的角度考慮，發表了著名的埃爾朗根(Erlangen)綱領，李(Lie，M.S.)由微分方程的研究引入了李群(現在，李群已獨立成為另一分支學科)。群已被廣泛地套用，並獨立地發展成為一個龐大的多方向的代數分支，至今仍長盛不衰。
群論發展的歷史錯綜複雜，它涉及眾多著名數學家以及不少數學領域和其他科學領域，而作為代數分支的群論，主要指那些以群或其推廣為主要研究對象，以代數方法為主要研究方法的各種理論。
當今群論包括基礎理論、置換群論、群表示論、抽象有限群論、無限群的有限群結構及分類理論、無限群有限群的專門方向、線性代數群(含典型群)、半群、群的各種推廣等十多個下屬分支學科。
群論是以公理化的形式出現的。隨著發展，其研究課題、思想與方法愈來愈豐富多彩，在具體方法上常常以作用的形式出現，如在集合上的置換作用、在空間上施加一個旋轉作用等。所以群論與其他數學學科、自然科學學科的相互滲透及群的套用都相當廣泛。群論複雜的歷史與複雜的現狀足以說明這一點，這也正是群論的生命力之所在。例如，群論特別是群表示論對量子物理與量子化學的套用形成了一個單獨的邊緣分支學科。
同態
設E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤。稱從E到F中的映射f是群胚同態，如果對於E的任一元素偶(x，y)，有：
設G為乘法群，而a為G的元素。由關係f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態。
設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法群的同態，且為乘法么半群的同態. 這就是說，對A的任一元素偶(x，y)，有f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，
並且f將A的單位元變成B的單位元。
例如，設n為非零自然數；使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態。設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數). 稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法群胚(乘法么半群)的同態。
例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基。則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。
代數群同態是一種特殊的群同態。代數群之間的既是群同態又是簇態射的映射。若一個代數群的同態可逆，且逆映射也是代數群同態，則稱之為同構。
