有理函式非旋轉Fatou域與不連通Julia集的結構

《有理函式非旋轉Fatou域與不連通Julia集的結構》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由彭文娟擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：有理函式非旋轉Fatou域與不連通Julia集的結構
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：彭文娟
• 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院

項目摘要

本項目致力於研究有理函式動力系統領域的重要問題，包括以下內容。 1. 刻畫有理函式非旋轉Fatou域的共形結構，包括對拋物域構造全純模型；探討非旋轉域全純模型的拓撲性質及可測動力系統；考察非旋轉域遊蕩邊界分支的拓撲性質。 2. 對Julia集是Cantor集的有理函式及不可重整多項式討論拋物點擾動問題。 3. 研究有理函式不連通Julia集的組合結構和拓撲性質，包括對給定度大於2，嘗試構造次雙曲有理函式，使得它的複雜型Julia分支循環的個數是任意正整數；對具有不連通Julia集的一般有理函式，研究始終是複雜型遊蕩分支的存在性問題等。 4. 研究Sierpinski有理函式雙曲分支的預緊性。嘗試利用folding手術構造雙曲分支預緊的臨界有限Sierpinski有理函式；對一般的Sierpinski有理函式，研究其雙曲分支的分析性質，期望解決Sierpinski有理函式雙曲分支預緊性問題。

結題摘要

復動力系統是現代數學研究熱點之一。長期以來，人們對多項式動力系統進行了廣泛而深入的研究，並有相當深刻的理解。非多項式有理函式動力系統更加複雜，更難刻畫，目前這方面的研究結果很少。本項目圍繞有理函式動力系統領域的重要關鍵問題進行了深入研究和探索，並取得了一系列創新性成果。 我們刻畫了不連通Julia集周期分支的拓撲結構，證明對d＞2次幾何有限有理函式，其複雜型Julia循環的個數可以是任意數。這是有理函式動力系統與多項式動力系統的一個本質區別。有理函式動力系統的重要工作之一是Thurston關於臨界有限有理函式拓撲特徵的相關理論。在這個工作中，Thurston提出了不變曲線族的概念。在此概念基礎上，我們引入Cantor型曲線族，並利用Cantor型曲線族研究了臨界有限有理函式Julia集的組合結構。我們對臨界有限有理函式Julia集進行分解，將球面分解成兩個完全不變的子集。一部分是由不可數多個Jordan曲線組成，這些Jordan曲線是Julia集的子集，其中大部分是遊蕩的。分解的另一部分是由有限多個重整化及其所有逆像分支，以及（可能出現的）不可數多個點構成。進一步，我們證明了作用在這些分解塊上的商映射可以由dendrite動力系統來完全刻畫。我們首次引入了一種新的構造有理函式的手術—Folding，利用這種手術我們構造了具有遊蕩Jordan曲線和給定重整的臨界有限有理函式。我們深入考察了有理函式遊蕩連續統存在性問題，給出了臨界有限有理函式具有分離型遊蕩連續統的充要條件，刻畫了Lattes映射具有單連通遊蕩連續統的充要條件。從一個雙曲函式出發的pinching序列，它的極限位於雙曲分支的邊界上，pinching序列限制在Fatou集和臨界軌道上也一致逼近。我們證明如果雙曲分支的一個邊界點被一列雙曲函式以上述形式一致逼近，那么這個邊界點是雙曲分支中一個pinching序列的極限點。