有效位數

有效數字的個數稱為該數的有效位數。有效數字是誤差理論的基本概念之一，若某數的近似值x*的誤差不大於該數某一位數字的半個單位，該位到x*最左邊的第一位非零數字都是該數的有效數字，其個數稱為該數的有效位數。例如，取x*₁=3.14作π的近似值，它有三位有效數字；取x*₂=3.141作π的近似值，x*₂仍有三位有效數字(3，1，4)；取x*₃=3.142作π的近似值，x*₃就有四位有效數字(3，1，4，2)，一個準確數經四捨五入得到的近似數的所有數字都是有效數字。

基本介紹

• 中文名：有效位數
• 外文名：number of significant figures,the number of significant figures
• 所屬學科：數學
• 定義：有效數字的位數

定義

有效數字的位數就是有效位數。關於有效數字的定義有以下幾種。

定義一

若一個數的誤差不大於某位數字的一半，則由左到右，從左邊第一個非零數字起，到右邊這一位數字為止，每一位數字都稱為準確數字，而這個數本身，稱為準確到這一位數字的近似值。若這個數近似值準確到它的末位數字，則稱它的每一位數字為有效數字。例如對0.0493，如果已知它準確到最後一位，則它的有效數字為4、9、3。如果只是最後一位數字不準確，則它的有效數字為4、9。由四捨五入得來的近似值，從第一個非零數字起的所有數字，都是有效數字，小數點並不影響有效數字的個數。例如，0.04926或0.04933經四捨五入得出的近似值為0.0493，有效數字為4、9、3。一個數有效數字的個數，反映這個數的精確度。

也可以只用只舍不入的規則，即以誤差不大於某個數字的一個單位，來定義近似值的準確數字與有效數字。這時，從左邊第一個非零數字起，到右邊最後一位數字止，每一個數字都是準確數字與有效數字。例如：0.04921、0.04929的近似值，都是0.0492(或0.0493)，則準確數字與有效數字為4，9，2(或4，9，3)。如果最後一位有效數字為零，則在這個零上面上加一橫，例如49,000 m,表示具有四位有效數字。 數據通常用指數形式表示，這樣既方便於讀寫，又明顯指出了有效數字，例如4900000,記為4.900×10⁶。

定義二

國家標準GB 8170-87中對有效位數的定義為：對沒有小數位且以若干個零結尾的數值，從非零數字最左一位向右數得到的位數減去無效零(即僅為定位用的零)的個數，就是有效位數；對其他十進位數，從非零數字最左一位向右數而得到的位數，就是有效位數。

有效位數的運算法則

在進行有效位數計算時，參加運算的分量可能很多。各分量數值的大小及有效位數的位數也不相同，而且在運算過程中，有效位數的位數會越乘越多，除不盡時有效位數的位數也無止境。即便是使用計算器，也會遇到中間數的取位問題以及如何更簡潔的問題。測量結果的有效位數，只能允許保留一位欠準確數字，直接測量是如此，間接測量的計算結果也是如此。根據這一原則，為了達到：①不因計算而引進誤差，影響結果；②儘量簡潔，不作徒勞的運算，簡化有效位數的運算，約定下列規則：

(1)加法或減法運算。

大量計算表明，若干個數進行加法或減法運算，其和或者差的結果的欠準確數字的位置與參與運算各個量中的欠準確數字的位置最高者相同。由此得出結論，幾個數進行加法或減法運算時，可先將多餘數修約，將應保留的欠準確數字的位數多保留一位進行運算，最後結果按保留一位欠準確數字進行取捨。這樣可以減小繁雜的數字計算。

(2)乘法和除法運算。

由此得出結論：用有效位數進行乘法或除法運算時，乘積或商的結果的有效位數的位數與參與運算的各個量中有效位數的位數最少者相同。

(3)乘方和開方運算。

由此可見，乘方和開方運算的有效位數的位數與其底數的有效位數的位數相同。

(4)自然數1，2，3，4，…不是測量而得，不存在欠準確數字。因此，可以視為無窮多位有效位數的位數，書寫也不必寫出後面的0，如D=2R，D的位數僅由測量值R的位數決定。

(5)無理常數 ， ， ，…的位數也可以看成很多位有效位數。例如 ，若測量值 時， 應取為3.142，則

(6)有效位數的修約。根據有效位數的運算規則，為使計算簡化，在不影響最後結果應保留有效位數的位數(或欠準確數字的位置)的前提下，可以在運算前、後對數據進行修約，其修約原則是“四舍六人五看右左”，“五看右左”即為五時則看五後面，若為非零的數則入、若為零則往左看，擬留數的末位數為奇數則入為偶數則舍，這一說法可以簡述為五看右左。中間運算過程較結果要多保留一位有效位數。

如今計算機已廣泛套用，我們沒有必要為參加運算的測量數據的有效位數取捨問題去耗費精力。當然我們也不能因此而否定有效位數的近似運算法則。正是計算機的廣泛使用。使很多人很少去考慮測量結果的有效位數問題，致使運算結果有效位數方面的問題越來越多。掌握有效位數的近似運算法則將是防止錯誤的一種很好手段。

數字修約標準

在1981年的國家標準GB/T 8170-1987中，對需要修約的各種測量、計算的數值，已有明確的規定：

(1)原文“在擬捨棄的數字中，若左邊第一個數字小於5(不包括5)時，則捨去，即所擬保留的末位數字不變”。例如：在3 605 6 43數字中擬捨去43時，4<5，則應為36 056，我們簡稱為“四舍”。

(2)原文“在擬捨棄的數字中，若左邊第一個數字大於5．(不包括5)時，則進一，即所擬保留的末位數字加一”。例如：在3 605 623數字中擬捨去623時，6>5，則應為3 606，我們簡稱為“六入”。

(3)原文“在擬捨棄的數字中，若左邊第一個數字等於5，其右邊數字並非全部為零時，則進一，即所擬保留的末位數字加一”。例如，在3 605 123數字中擬捨去5 123時，5=5，其右邊的數字為非零的數，則應為361，我們簡稱為“五看右”。

(4)原文“在擬捨棄的數字中，若左邊第一個數字等於5，其右邊數字皆為零時，所擬保留的末位數字若為奇數則進一，若為偶數(包括0)則不進”。例如，在36 050數字中擬捨去50時，5=5，其右邊的數字皆為零。而擬保留的末位數字為偶數(含0)時則不進，故此時應為360，簡稱為“五看右左”。

上述規定可概述為：捨棄數字中最左邊一位數為小於四(含四)舍、為大於六(含六)入、為五時則看五後若為非零的數則入、若為零則往左看擬留的數的末位數為奇數則入為偶數則舍。可簡述為“四捨六入五看右左”。

可見，採取慣用的“四捨五入”法進行數字修約，既粗糙又不符合國標的科學規定。類似的不嚴謹、甚至是錯誤的提法和做法還有“大於五入，小於五舍，等於5保留位湊偶”；尾數“小於5舍，大於5入，等於5則把尾數湊成偶數”；“若捨去部分的數值，大於所保留的末位0.5，則末位加1，若捨去部分的數值，小於所保留的末位0.5，則末位不變……”等。還要指出，在修約最後結果的不確定度時，為確保其可信性，還往往根據實際情況執行“寧大勿小”原則。