最小上界公理

最小上界公理，又稱為上確界原理，是實分析的公理。之所以稱為公理，是因為它在實分析的公理系統里，不能被除了它本身以外的公理所證明。這個公理聲稱如果實數的非空子集有上界，則它有最小上界。

基本介紹

• 中文名：最小上界公理
• 外文名：Completeness of the real numbers
• 分類：數理科學

特點

這個公理可以用來證明實數集是完備度量空間。有理數集不滿足最小上界公理，因而就不是完備的。一個理想的例子是。2 當然是這個集合的上界。但是這個集合沒有最小上界 — 對於任何上界 ，我們可以找到上界 有著。

證明實數集的完備性

設 是柯西序列。設 S 為這樣一個集合，其中每個實數隻大於序列中的有限個成員。設 ，以及設 使得。於是這個序列在這個區間 里出現無限多次，而且只在它的補集裡最多出現有限次。這意味著 ， 因此 。另外 是 S 的上界。於是通過 LUB 公理，可以設 b 是S的最小上界，而且 。由三角不等式，當n>N時成立著。所以 並因此 是完備的。Q.E.D.

等價命題

最小上界公理也可以由其它等價命題所取代，此時最小上界公理改稱為最小上界原理。這些等價命題包括：

• 最大下界原理：即下確界原理。與最小上界原理合稱確界原理。
• 柯西收斂準則：即上文所證明的實數集完備性。
• 收縮區間套原理：任何收縮的區間套恰好能套住一個點。
• 單調有界原理：單調有界序列必有極限。
• 聚點原理：任何有界序列必有收斂子列。又稱魏爾斯特拉斯聚點原理。