最大公因式有兩個含義:第一,首先是公因式;第二,又是所有公因式的倍式,即體現“最大性”。兩多項式的最大公因式一定存在且不唯一,但是首項係數為1的最大公因式是唯一的。求最大公因式可以用輾轉相除法來得到。
基本介紹
- 中文名:最大公因式
- 外文名:the greatest common factor
- 求解方法:輾轉相除法
定義,性質,輾轉相除法,
定義
設
、
是數域
上的多項式,即
,若存在
是
、
的公因式,且
是
和
所有公因式的倍式,則稱
為
和
的最大公因式,記為
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所以,最大公因式有兩個含義:第一,首先是公因式;第二,又是所有公因式的倍式,即體現“最大性”。
性質
①設
、
是數域
上的多項式且不全為0,則其最大公因式一定存在。
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②若
與
都是
和
的最大公因式,那么
與
最多相差一個非零常數因子,即
。另一方面,
和
的最大公因式與任意非零常數的乘積也是其最大公因式。因此,最大公因式不是唯一的,但首項係數為1的最大公因式是唯一的。
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③
,即任意的
和0的最大公因式是
自身。
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④若
整除
,即
整除
,則
。
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輾轉相除法
輾轉相除法是求最大公因式的一種行之有效的方法,過程敘述如下:
設
、
是數域
上的多項式且不全為0,不妨設
。利用帶餘除法,以
除
得
。若
,再以
除
得
。若
,則又用
除
。如此繼續下去,每一步都至少使得餘式降低一次,經過有限次帶餘除法後,必然得到這樣一個
,它整除
,即
。此時
即為
、
的最大公約數。
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