最概然分布(最可幾分布)

最概然分布

最可幾分布一般指本詞條

在指定N、U、V 條件下,微觀狀態數最大的分布出現的機率最大,該種分布即稱為最概然分布.

基本介紹

  • 中文名:最概然分布
  • 外文名:most probable distribution
  • 又名:最可幾分布
  • 類別:數學現象
  • 原理:等機率原理
  • 學科:數學
解釋,關係,示例,

解釋

系統中微觀粒子一般具有一系列離散的能量,記這些能量為ε1,ε2,……,εn,……,相應能量的粒子數目記為a1,a2,……,an,……={an}。數列{an}即為一個分布。不同時刻,分布是變化的。
粒子分布圖粒子分布圖
這些處於相同能量的粒子還可能具有不同的其他微觀物理量,比如同具有動能ε的一維自由粒子動量具有兩個相反的方向。這時,能量是簡併的,而動量是非簡併的。記每個能量下細化到非簡併時的狀態數目分別為k1,k2,……,kn,……={kn} ,稱每一個k是該能量的簡併度。上述例子相應的能量簡併度為2。
某一個分布下的微觀狀態數,即該分布下系統所有可能出現的微觀狀態的總數(微觀狀態概念參見等機率原理或被詞條附圖),用符號Ω標記。對於每一個分布(見上文),它只規定了每種能量下的粒子數,而許多微觀狀態都滿足這種分布。這些微觀狀態也是隨時間不停發生變化。一種分布下的全部可能的微觀狀態數目是可以被計算出來的。這種一對多的關係來源於能量的簡併(見上文),可分辨和不可分辨全同粒子的特性和泡利不相容原理等等。
根據等機率原理,各個分布下的所有的微觀狀態出現的機率都一樣,因此,分布包含的可能微觀狀態數目Ω越多時,該分布出現的機率就越大。最大的Ω對應機率最大的分布,該分布稱為最概然分布
對於一個系統,微觀粒子每時每刻都在變化,各種分布都會出現,但它們出現的機率不同(如上文所述,原因被抽象為該分布下微觀狀態數不同),物理學用出現機率最大的一個分布(最概然分布)來代替當前系統微觀粒子的分布,而忽略其他分布出現的可能。這種處理是合理的,因為計算表明,當粒子數足夠大時,最概然分布出現的機率遠遠高於其他分布出現的機率。

關係

分布與微觀狀態數Ω有關,而Ω又與{an}和{kn}有關。而最概然{an}又和系統總能量,系統粒子總數,{kn}和{εn}有關,所以巨觀和微觀在數學上就被聯繫起來,進而可以討論它們在物理上的聯繫。
著名的麥柯斯韋-波爾茲曼分布,是在最概然分布的物理意義下產生的,它只是眾多分布中的一個極大值。這之後出現的費米-狄拉克分布和玻色-愛因斯坦分布也是一個最概然分布,無論是用經典方法還是系綜理論,都離不開最後這步處理。這三個分布的區別在於各自的微觀狀態數的表達式不同,因為描述這三種分布下粒子的限定條件不同。

示例

不同的M 值代表了不同的分布,因此,M 是一個指明系統分布的特徵參數。又因A 和B 是同一能
級的兩個簡併量子態,因此,所有微觀狀態有相同的能量,他們都服從等機率原理。
在這個平衡系統中,最概然分布出現的機率與子數N 的平方根成反比。這就是說,隨著N 增大,最概然分布出現的機率反而減小。當N抑1024 時,Pmax 抑10-12,這是一個很小的機率。那么,為什麼還說最概然分布可以代表熱力學系統的平衡分布呢? 圖2 是不同N 時的平衡分布及最概然分布圖[2] 。為清楚地顯示大數,圖2 中的縱坐標和橫坐標都用相對值表示,前者為棕(M) / 棕max ,後者為M / N,其中M / N = 0. 5 的虛線所示即為最概然分布。
由圖2 可見,隨著N 增大,分布曲線變得越來越窄,換句話說,平衡分布越來越接近最概然分布。
最概然分布最概然分布

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