替換定理

線上性空間V中給出兩個有限向量組：

1.a1，a2，…，at,;

2.b1，b2:，…，bs.

若向量組1線性無關，並且向量組1可由向量組2線性表示，則t<=s,而且適當調整{b1，b2:，…，bs.}次序，使得用a1，a2，…，at替換b1，b2:，…，bs.得的向量組後，所得到的向量與向量組2等價，此即替換定理。

(其中a1，a2，at, b1，b2:，bs中的數字1、2 以及字母t、s為下角標)

基本介紹

• 中文名：替換定理
• 外文名：substitution theorem
• 學科：數學
• 範圍：線性空間
• 別稱：替換定律
• 相關名詞：線性無關組

簡介

設線性無關的向量組

可由向量組

線性表示,則m簇t，並且可從 中選出t一m個向量，使得向量組

與向量組(2)等價。

上述定理通常稱為替換定理。

證明

方法一

設向量組(2)的極大無關組為

顯然r≤t，由於(1)可由(2)線性表示，故(4)也是

的一個極大無關組，又因

線性無關，故m≤r，又r≤t，從而m≤t。

因(5)的秩為r，顯然m≤r，適當選擇 可把(1)擴充為(5)的一個極大無關組。

由於(4)，(7)均為(5)的極大無關組，故(4)與(7)等價，故(7)是(2)的極大無關組，從(2)中

之外選取 ，可得向量組

顯然，（8）和（2）等價。

方法二

由題設 ，得

若m>t，則

必有非零解 ，(未知量個數大於方程個數，故也)。從而有 ，即 線性相關，這與題設矛盾，因此m≤t。

下證第二部分，設向量組(2)的秩為r，不防設 是(2)的極大無關組，則

由上述證明可知必有m≤t，由於 線性無關，故由(4)中 的係數組成的矩陣 的秩必為m，故它一定存在一個m階子式不為0，不防設它的前m列構成的m階子式不為0，由此易知 可由 線性表示，故 與 等價，又因為是(2)的極大無關組，因此與等價。