線上性空間V中給出兩個有限向量組：
1.a1，a2，…，at,;
2.b1，b2:，…，bs.
若向量組1線性無關，並且向量組1可由向量組2線性表示，則t<=s,而且適當調整{b1，b2:，…，bs.}次序，使得用a1，a2，…，at替換b1，b2:，…，bs.得的向量組後，所得到的向量與向量組2等價，此即替換定理。
(其中a1，a2，at, b1，b2:，bs中的數字1、2 以及字母t、s為下角標)
基本介紹
- 中文名：替換定理
- 外文名：substitution theorem
- 學科：數學
- 範圍：線性空間
- 別稱：替換定律
- 相關名詞：線性無關組
簡介,證明,方法一,方法二,
簡介
可由向量組
線性表示,則m簇t，並且可從
中選出t一m個向量，使得向量組
與向量組(2)等價。
上述定理通常稱為替換定理。
證明
方法一
設向量組(2)的極大無關組為
顯然r≤t，由於(1)可由(2)線性表示，故(4)也是
的一個極大無關組，又因
線性無關，故m≤r，又r≤t，從而m≤t。
因(5)的秩為r，顯然m≤r，適當選擇
可把(1)擴充為(5)的一個極大無關組。
由於(4)，(7)均為(5)的極大無關組，故(4)與(7)等價，故(7)是(2)的極大無關組，從(2)中
之外選取
，可得向量組
顯然，（8）和（2）等價。
方法二
由題設
，得
若m>t，則
必有非零解
，(未知量個數大於方程個數，故也)。從而有
，即
線性相關，這與題設矛盾，因此m≤t。
下證第二部分，設向量組(2)的秩為r，不防設
是(2)的極大無關組，則
