方向數

簡單介紹

如果一個非零向量平行於一條已知直線，這個向量就叫做這條直線的方向向量。

由於過空間一點可作而且只能作一條直線平行於一已知直線，所以當直線L上一點和它的一方向向量

為已知時，直線L的位置就完全確定了。

直線的任一方向向量

的坐標m、n、p叫做這直線的一組方向數。

當方向數沒能對應在正方體或者長方體上面，而是在三維坐標圖中時，可以自己想像一個長方體出來，其長、寬、高就是{長，寬，高}，這個表達形式就是方向數。把長寬高的平方和開方，得到的就是這個方向數的長度，既長方體的立體對角線。

方向數與方向餘弦

方向數、方向餘弦可以用來確定空間有向直線的方向，但是如果只需要確定一條空間直線的方位（一條直線的兩個方向均確定著同一方位），那么就不一定需要知道方向餘弦，而只要知道與方向餘弦成比例的三個數就可以了。這三個與方向餘弦成比例且不全為零的數A，B，C稱為空間直線的方向數，記作：{A，B，C}，即：

據此可得到方向餘弦與方向數的轉換公式：

其中，根式取正負號分別得到兩組方向餘弦，它們代表兩個相反的方向。

關於方向數的問題

空間任意兩點坐標之差就是聯結此兩點直線的一組方向數。

方向數求夾角

設L₁與L₂是空間的任意兩條直線，它們可能相交，也可能不相交。通過原點O作平行與兩條直線的線段

，則線段

的夾角稱為此兩直線L₁與L₂的夾角。

若知道L₁與L₂的方向數，則有公式為：

方向數判別兩直線平行、垂直

兩直線平行的充分必要條件為：

兩直線垂直的充分必要條件為：

方向數和方向向量的關係

方向數是方向向量在相應坐標軸上的投影，或者說方向數是方向向量的數字描述。方向數是指坐標向量的數據，如：向量a=（1，2），而方向向量也可能是非坐標向量下的向量。方向數一定是方向向量，但方向向量不一定是方向數。

例如：過點M（1，3，5）且方向數為{2，1，2}的直線方程為（x-1）/2=（y-3）/1=（x-5）/2；這條直線與向量a=2i+j+2k平行。另外，也可作圖驗證：畫個立體直角坐標,畫出點A（2，1，2），連線OA，這就是所求直線的方向向量a；再畫出點M（1，3，5）；再任取m=1，算出x=2m+1=3，y=m+3=4，z=2m+5=7，畫出

點N（3，4，7），再連線MN。最後觀察出MN與OA平行。

方向數

基本介紹