斯通格

在數學中，斯通代數也叫斯通格是一個偽補格，也是一類特殊的布勞威爾格，使得a*∨a** = 1。斯通格的概念由Grätzer&Schmidt在1957年引入，並以馬歇爾·哈維·史密斯（Marshall Harvey Stone）命名。

布爾代數是一種斯通代數，斯通代數是Ockham代數。

例子：極端斷開的空間的開放格是斯通格；給定正整數的正除數的格是斯通格。

基本介紹

• 中文名：斯通格
• 外文名：stone lattice
• 別名：斯通代數
• 性質：偽補格、布勞威爾格
• 定義：a*∨a** = 1
• 引入者：Grätzer＆Schmidt
• 引入時間：1957年
• 命名由來：馬歇爾·哈維·史密斯

人物介紹

馬歇爾·哈維·斯通（Marshall Harvey Stone）（1903年4月8日 - 1989年1月9日）是美國數學家，為實際分析，功能分析，拓撲和布爾代數研究做出了巨大貢獻。

斯通是Harlan Fiske Stone的兒子，他是1941年至1946年的美國首席大法官。馬歇爾·斯通（Marshall Stone）的家人希望他成為像他父親那樣的律師，但他在哈佛大學上本科時就喜歡數學。他完成了哈佛博士學位。在1926年，由George David Birkhoff監督的微分方程論文。在1925年至1937年間，他在哈佛大學、耶魯大學和哥倫比亞大學教書。 1937年，斯通被晉升為哈佛全職教授。

在第二次世界大戰期間，斯通把研究列為“海軍作戰辦公室”和美國戰區部長“辦公室主任”的一部分。 1946年，他成為芝加哥大學數學系主任，直到一九五二年，他一直擔任這所大學的教授，直到1968年，他在麻薩諸塞州阿默斯特大學任教，直到1980年。

他在1946年加入的部門處於低谷狀態，由於Eliakim Hastings Moore的領導地位，20世紀之交可能是美國最佳數學系。史蒂芬·史密斯在芝加哥事務部門的工作重點突出，主要是通過僱傭Paul Halmos，AndréWeil，Saunders Mac Lane，Antoni Zygmund和Shiing-Shen Chern等人一起工作。

定義

斯通格(Stone lattice)一類特殊的布勞威爾格。設L是布勞威爾格，若下列條件之一成立：

1.a*∨a**=1，對任意a∈L；

2.a*∨b*=(a∧b)*，對任意a，b∈L；

3.L中所有閉元做成的布爾代數是一個子格；

4.每一個元素a*(a∈L)是有補的；

則稱L為斯通格。

偽補格

偽補格是有補格概念的推廣。設L是有0的格，a∈L，若有元素a∈L滿足a∧a*=0，且a∧x=0有x≤a*，則稱a*為a的偽補元。每一元至多有一個偽補元。若格L的每一元都有偽補元，則稱L為偽補格.因為偽補概念只涉及交運算，所以可定義偽補交半格。設L是有0的分配格，則L的理想格I(L)是偽補格。

布爾格

布爾格（Boolean lattice）是一種特殊的格。它是與布爾代數B=(2;∪，∩)同構的格。布爾格的結運算和交運算分別對應於布爾代數的並運算和交運算。布爾格為分配格、模格、幾何格、補格.當|E|=n時，記布爾格為B_n。



布勞威爾格

布勞威爾格（Brouwerian lattice）是布爾格的一個重要推廣。設a，b是格L的任意兩個元素，若L中滿足a∧x≤b的x所構成的集合中有最大元，記為b∶a，則稱L為布勞威爾格，b∶a稱為a在b中的相對偽補元。在有0的布勞威爾格中，0∶a稱為a的偽補元，記為a*。滿足(x*)*=x或x∧x*=0的布勞威爾格是布爾格。布勞威爾格是分配格。布勞威爾格是真正介於布爾格和分配格之間的一類格。

同態格

定義1 設L和K是格， 是映射，若對任意 ，有：

f(a∨b)=f(a)∨f(b)且f(a∧b)=f(a)∧f(b)成立，稱f是格同態。

定義2 設 是有界格之間的同態，若：f(1)=1且f(0)=0成立，這種有界格之間的格同態稱為{0,1}-同態。

定義3 設L是有界格，對 若a∨b=1且a∧b=0成立，稱a是b的補元，或b的補元是a。

定義4 設D是有界分配格，若D中的元素都有補元，稱D是布爾格，或稱D是布爾代數。