數系擴充原則(principle of extension of a number system)是數系擴充的基本法則，它是在人類認識和運用數的歷史發展過程中，逐步形成的、不斷擴大數的範圍的一些基本原則。這些原則是：1.從數系A擴充到數系B必須是A⊂B，即A是B的真子集；2.數系A中定義了的基本運算能擴展為數系B的運算，且這些運算對於B中A的元來說與原來A的元間的關係和運算相一致；3.A中不是永遠可行的某種運算，在B中永遠可行，例如，實數系擴充為複數系後，開方的運算就永遠可行，再如，自然數系擴充為整數系後，減法的運算就能施行等；4.B是滿足上述條件的惟一的最小的擴充，例如，自然數系只能擴充為整數系，而不能一下擴展為實數系。還有一點必須明確：數系A的每一次擴充，都解決了原來數系中的某些矛盾，隨之套用範圍擴大了。但是，每一次擴充也失去原有數系的某些性質，比如，實數系擴充到複數系後，實數系的順序性質就不復存在，即在複數系中不具有順序性。數系的擴充，一般採用兩種形式：一種是首先從理論上構造一個集合，即通過定義等價集合來建立新的數系，然後指出新的數系的一部分集合是和以前的數系同構的；另一種擴充形式則是把新元素加到已建立的數系中而擴充。
基本介紹
- 中文名：數系擴充原則
- 外文名：principle of extension of a number system
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：初等代數(數系)
基本介紹,數系擴充的其他說明,
基本介紹
在每一次數系擴充中，人們都遵守了如下幾條原則：
①擴充的目的:在原數集中某種運算不封閉，在擴充後的新數集中該運算封閉;
②擴充後的集合要擴大:進行的每一次擴充都是從一個較小的原數集擴充到一個較大的新數集,且使得原數集是新數集的一部分;
③保持原有的運算:進行擴充時,要使原數集中所能夠進行的運算在新的數集中有意義,並且當把原數集中的數看成新數集中的數進行運算時,其結果應與它們在原數集中所得到的結果完全相同;
④擴充的最小性與唯一性:要使擴充後的新數集是原數集滿足以上的①、②、③原則的最小擴充，並且該擴充是唯一的。
我們已經看到，數集的每一次擴 充,人們都能夠解決一 些在原數集中不能夠解決的問題。
說得通俗或更簡單一些的話，從自然數集N*到有理數集Q的擴充最主要實現了(擴充的意義):
解決原來數系N*中不能解決的問題；
新數系Q中，交換律結合律、分配律保持不變。
數系擴充的其他說明
數系擴充需要定義一些新數的運算。
從自然數集N*到有理數集Q因為引人了新的符號，如“-1”、“0”、“
”等,我們必須定義它們的運算,才能使得在原來數系N*中的運算規律一交換律、結合律、分配律保持不變,和那些已有的運算性質相容，否則擴充就失去了意義。
首先，定義(一1)·1=-1以及1+(-1)=0顯然是合理的(與生活實際相符合)。
那么,又該如何定義(-1)·(-1)?
歐拉曾認為(-1)·(-1)必須等於1或者-1。那么，為什麼規定(-1)·(-1)=1?①
如果(-1)·(-1)=-1,會怎樣?
來看乘法對加法的分配律:a·(b+c)=a·b+a·c。令a=-1，b=-1，c=1，則有:
(-1)·((-1)+1)= (-1)·(-1)+(-1)·1= (-1)+(-1)=-2。
但是(-1)·((- 1)+1)=(-1)·0=0。於是產生矛盾。仍然看這個問題——為什麼規定 (-1)·(-1)=1?
讓我們換一種表述方式。
再次來看乘法對加法的分配律:a·(b+c)=a·b+a·c。
我們可以仍然令a=-1,b=-1, c=1。
於是我們便可以得到:
(-1)·((-1)+1)= (-1)·(-1)+(-1)·1= (-1)·(-1)+(-1)。
同時我們又有(-1)·((-1)+1)=(-1)·0=0。由於1+(- 1)=0，故必須使得(-1)·(-1)=1才能保證等式成立。
對於為什麼(-1)·(-1)=1，《x的奇幻之旅》提供了這樣一種解釋。首先我們需要理解(-1)·3的意思。書中用借錢和還錢來解釋:如果你每周向我借1元錢,那么3周以後你一共欠我3元錢。在理解了(-1)·3的意思後,再進一步地理解“負負得正”的規律。
書中羅列了這樣幾行算式:
(-1)·3=-3
(-1)·2=-2
(-1)·1=-1
(-1)·0=0
(-1)·(-1)=?
看以上式子等號右邊數字的規律,每個算式的得數比上一個算式的得數增加1。所以從邏輯上來說,(- 1)·(一1)必須等於1。這樣解釋的優點是，它保留了正常數學的運算規律:適用於正數的規律也適用於負數。
又如，為什麼規定0不能作除數?即像這樣的符號“
”、“
”等為什麼無意義?②
按照分數的定義:對於a·x=b,a, b∈Z，引進符號“
”,並使之服
從於
,則
。
讓我們來“演繹”(從一般到特殊)一下該定義(做一點微乎其微的形式推導),令a=0,b=1,若讓符號““”服從於0,“
,則x=。但是
我們應有0·x=0。於是產生矛盾。所以“”、“”等,像這樣的符號無意義,亦即0不能作除數。
《什麼是數學》中說:“對數學家來說，經過了很長一段時間才認識到‘符號規則’(如①)，以及負數、分數所服從的其他定義(或規定，如①)是不能加以‘證明’的。它們是我們創造出來的，為的是在保持算術基本規律的條件下使運算能夠自如。能夠並且必須加以證明的是，在這些定義的基礎上.算術的交換律結合律、分配律保持不變。”
以上通過引進三個符號一“0”(零)、“-”(負號)和“二”(分 數),從
自然數系直接到有理數系的擴充是在數系擴充理論的基礎上來梳理的，不過這和歷史事實應該是有出人的。正如國中教材序言部分是這樣敘述的:“開始，先有自然數,接著出現了分數和小數;引人負數之後,數的範圍擴“大到了有理數。”
《數學史概論》上有這樣一句話:“直到18世紀的數學家還談不上有己整的數系概念和建立數系的企圖。他們在具體的研究中已經認識了整數，有理數，無理數和複數，但對接受負數與複數還存在疑慮和爭議。”
