數書九章：中國古代軍民日用算術之題例集成

內容簡介

《數書九章》全書分為九章十八卷，一章一類，共有“大衍類”“天時類”“田域類”“測望類”“賦役類”“錢穀類”“營建類”“軍旅類”“市物類”等九類，每一類分布在兩卷當中。每類9問，總計81問。全書內容極為豐富，上至天文、星象、歷律、測候，下至河道、水利、建築、運輸，各種幾何圖形和體積，錢穀、賦役、市場、牙厘的計算和互易，充分體現了中國人的數學觀和生活觀。直至今日，《數書九章》中記載的許多計算方法和經驗常數，仍有較高參考價值和實踐意義。

第一類為“大衍類”，包括卷一、卷二。秦九韶在提出第一個問題“蓍卦發微”之後，先用較長的篇幅介紹了一種新的計算方法：大衍總數術。其中包括對正整數、小數、分數等數字類型的定義，以及用這些數字進行求公約數、化簡的方法，例如“約奇弗約偶”“復乘求定”等操作。還包括“大衍求一術”，即解答一次同餘式問題的方法，後來也被稱作“中國剩餘定理”，500多年後，德國數學家高斯才提出類似的計算方法。之後，秦九韶利用大衍術解決了9個不同領域的同餘問題，涉及曆法、建築、貨幣換算、糧食交易、交通行程等方面。

第二類為“天時類”，包括卷三、卷四。其中的問題主要涉及三個方面。“推氣治歷”“治歷推閏”“治歷演紀”是有關曆法方面的計算問題，“綴術推星”“揆日究微”是將數學方法套用於天文推算，而“天池測雨”“圓罌測雨”“峻積驗雪”“竹器驗雪”則是利用不同的容器去測量降雨、降雪的量，涉及容積計算等方法。

第三類為“田域類”，包括卷五、卷六。這一類的9個問題歸納總結了各種形狀的田地面積的計算方法，例如不規則四邊形、三角形、梯形、蕉葉形、環形等等，並且靈活處理了各種與田地面積相關的實際情況，例如被水衝去一部分後的剩餘面積計算、三人分配田地的面積計算等。這一類的亮點在於兩種先進計算方法的提出：一是已知三角形的三條邊長，求三角形面積的“三斜求積術”，這和西方的海倫公式異曲同工；二是求解一元高次方程的“正負開方法”。

第四類為“測望類”，包括卷七、卷八。這一類主要將《九章算術》中的勾股術、重差術用於實際問題，構想出若干複雜情境去測量山峰的高度和距離、河水的寬度、正方形城牆的邊長、圓形城牆的直徑和周長等。在這一類中，作者將上一類中介紹的正負開方術加以進一步運用，求解出了一元10次方程。

第五類為“賦役類”，包括卷九、卷十。這一類中探討了數學如何套用於古代社會經濟民生最為重要的問題之一：徭役賦稅。其中有的問題關於不同等級的田地如何分配各類賦稅（“復邑修賦”“圍田租畝”），有的問題關於興造工程需要的人力和工作量計算（“築埂均功”），有的問題關於不同賦稅內容之間的折算（“寬減屯租），等等。在這一類中使用的主要是來自《九章算術》的衰分、商功、粟米等計算方法及其拓展，所進行的主要是按比例分配、折算的數學方法操作。

第六類為“錢穀類”，包括卷十一、卷十二。這一類主要關注經濟生活中的貨幣和糧食問題。例如不同貨幣之間的折算，不同地區米價的比較，囤米空間的尺寸計算，運送糧食的運費計算，錢庫本金和利息的計算，以隨機抽樣法對糧食中的雜質進行計算，等等。這一類在“賦役類”的基礎上增加了《九章算術》中少廣、均輸、盈不足等方法的運用。

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