正平面直角坐標系內,橫坐標、縱坐標都是整數的點稱為整點。在數學競賽試題中,常涉及整點問題,或討論以整點為頂點的平面圖形的存在性,或討論涉及整點的平面圖形的性質,或計算平面區域內含整點的個數,或套用整點知識來解決其他相關問題等。
整點問題通常可以用鴿巢原理來進行求解。
基本介紹
- 中文名：整點問題
- 外文名：lattice-point problem
例1,例2,例3,例4,
給出幾個利用鴿巢原理求解整點問題的例子：
例1
·三維空間9個整點,試證在兩兩相連的線段內,至少有一個坐標為整數的內點
·證明：令9個點的坐標分別為（xi,yi,zi）, i=1,2,…,9
· 對於x1,x2,…x9必有9/2=5個奇偶性相同，令為x1,x2,…x5
· 對於y1,y2,…y5必有5/2=3個數奇偶性相同，令為y1, y2, y3
· 對於z1,z2,z3必有3/2=2個數奇偶性相同，令為z1,z2。
· 則（x1, y1, z1）, (x2, y2, z2)連成的線段中點為一個整點，即這條線段有一個整點的內點。
例2
在平面直角坐標系中至少任取多少個整點（兩個坐標都是整數）才能保證其中存在3個構成三角形（包含3點在一條直線上）的面積是整數（可以為0）
解：任一點的坐標（a , b）只有如下4種可能： (奇數，偶數)、(奇數，奇數)、(偶數，奇數)、(偶數，偶數)。 因而5個點中必有兩個點模2的格式一樣。
·設2|(x1－x2)，2|(y1－y2)
·即x1－x2=2k, y1－y2=2l，則三角形面積由行列式可求得：
為整數,命題得證.
例3
·在平面直角坐標系中至少任取多少個整點（兩個坐標都是整數）才能保證其中存在3個構成三角形（包含3點在一條直線上）的面積是整數（可以為0）
解：
·任一點的坐標（a , b）只有如下4種可能：
·(奇數，偶數)、(奇數，奇數)、(偶數，奇數)、(偶數，偶數)。
·因而5個點中必有兩個點模2的格式一樣．
·設2|(x1－x2)，2|(y1－y2)
·三角形1的面積(x2-x1)*(y2-y1)/2
·三角形2的面積(x3-x2)*(y2-y3)/2
·三角形3的面積(x3-x1)*(y1-y3)/2
·矩形的面積(x3-x1)*(y2-y3)
·三角形S的面積=(x3(y2-y1)+y3(x1-x2)-x1y2+x2y1)/2
= (x3(y2-y1)+y3(x1-x2)-x1y2+x2y1 + x2y2-x2y2)/2
=((x3-x2)(y2-y1)+(y3-y2)(x1-x2))/2
為整數,鈍角三角形與直角三角形類似，則命題得證。
例4
在平面直角坐標系中至少任取多少個整點才能保證存在3個點構成的三角形的重心是整點？
解：
設(x，y)是整點，每個分量模3後有如下表的結果：
根據3個點重心是整點的情況:
1.落在上表中的同一格中，
2.若有3點占滿一行，
3.有3點占滿一列，
4.若存在一組均勻分布(每行取一個,每列取一個)。如(0,0)(1,1)(2,2)
若只有8個點，也不能保證有3點的重心是整點．（因為若每個格子都有2點，則只占有4個格子，無法保證上面的要求
考慮9個點的情況:假設存在9個點，其中任3點的重心都不是整點．
則這9個點，至少占有9/2=5個格子（因為每格中最多有2個點，否則有3個點的重心為整點），每行最多有2格，有5/2=3行,所以每行都有點,同理，每列都有點．
不妨設第一行2格，第二行2格，第三行1格,
前2 行有兩種模式：見右圖
這樣第三行的點無論在哪一列都構成占滿一列或構成一組均勻分布．滿足前面說的三點重心是整點的情況．故 9個點能保證其中存在3個點的重心是整點．
