收斂速度

在數值分析中, 一個收斂序列向其極限逼近的速度稱為收斂速度(Rate of convergence). 該概念多用於最最佳化算法中; 其被定義為一個疊代序列向其局部最優值逼近 (假設計算過程收斂, 並能達到最優值) 的速度, 是評價一個疊代法於該問題中發揮的性能的一個重要指針.

基本介紹

• 中文名：收斂速度
• 外文名：Rate of convergence
• 分類：數值分析
• 套用：最最佳化算法

定義

收斂速度以收斂階衡量, 亦可以收斂因子描述; 依計算方法的不同, 有下述兩種收斂階及收斂階.

商收斂因子及商收斂階

一、商收斂因子 的定義式如下:

商收斂因子也稱Q—因子, 商收斂階也稱Q—收斂階. 利用商收斂因子, 對收斂速度進行描述的方式如下:

1、如果 , 則稱 是Q—超線性收斂於 ; 如果 , 則稱 是Q—線性收斂於 ; 如果 則稱 是Q—次線性收斂於 .

2、如果 , 則稱 是Q—超平方收斂於 ; 如果 , 則稱 是Q—平方收斂於 ; 如果 , 則稱 是Q—次平方收斂於 .

注意: Q—線性收斂與Q—平方收斂, 以及Q—次線性收斂與Q—次平方收斂的評判標準有些微差別. “Q—平方收斂”也稱為“Q—二次收斂”.

依照Q—平方收斂 (不是Q—線性收斂) 的定義, 可以定義Q—立方收斂 (將 改為 ）, Q—四次方收斂等更高Q—收斂階.

二、商收斂階的定義式如下:

對比商收斂因子的描述, 商收斂階是指求出一個數 (不一定是整數), 使得對於 , 點列 都是Q—次 次方收於, 且對於 都是Q— 次 方收斂. 而這個數 就是點列的商收斂階.

根收斂因子及根收斂階

一、根收斂因子 的定義式如下:

根收斂因子也稱R—因子, 根收斂階也稱R—收斂階. 利用根收斂因子, 對收斂速度進行描述的方式如下:

1、如果 則稱 是R—超線性收斂於 ; 如果 , 則稱 是R—線性收斂於 ; 如果 , 則稱 是R—次線性收斂於 .

2、如果 , 則稱 是R—超平方收斂於 ; 如果 , 則稱 是R—平方收斂於 ; 如果 , 則稱 是R—次平方收斂於 .

注意: R—次線性收斂與R—次平方收斂的評判標準有些微差別. “R—平方收斂”也稱為“R—二次收斂”.

依照R—平方收斂 (不是R—線性收斂) 的定義, 可以定義R—立方收斂 (將 改為 ), R—四次方收斂等更高R—收斂階.

二、根收斂階 的定義式如下:

對比根收斂因子的描述, 根收斂階是指求出一個數 (不一定是整數), 使得對於 , 點列 都是R—次 次方收於, 且對於 都是R— 次方收斂. 而這個數 就是點列的根收斂階.

兩種收斂階的聯繫

對於一個收斂點列而言, 其Q—收斂階不大於其R—收斂階, 即

有時, 一個數列的R—收斂階可能很高, 但其Q—收斂階可能很低. 當然可以證明, 一個R—收斂階高的點列至少比某些Q—收斂低的點列收斂得更快.

實例

數列

有如下向量列:

據上作出計算如下,

故數列為Q線性收斂; Q收斂階為1;

故數列為R線性收斂; R收斂階為1.

最佳化算法的疊代點列

對於牛頓法,可以證明, 如果牛頓法的目標函式 的二階導數 在其收斂點 處Lipschitz連續, 則滿足不等式

此說明牛頓法的疊代點列是Q平方收斂; 另言之, 牛頓法的收斂速度是二次的.