擬基本解

擬基本解(parametrix)微分運算元的基本解的一種近似，格林函式是一種經典的擬基本解。

基本介紹

• 中文名：擬基本解
• 外文名：left（right）parametrix
• 適用範圍：數理科學

定義

給定運算元，若存在，使得，則稱是對於運算元A的一個左擬基本解；

給定運算元，若存在，使得，則稱是對於運算元A的一個右擬基本解；

如果運算元E既是運算元A的左擬基本解，又是右擬基本解，則稱E是A的一個擬基本解。

擬基本解可視為逆運算元概念的推廣。

基本解

【fundamental soulution】

對於給定的微分運算元P(D)，稱滿足方程P(D)E(x)=b(x)的廣義函式E(x)為運算元P(D)的基本解，這裡δ(x)是迪拉克廣義函式。例如，拉普拉斯運算元的基本解為或，其中，為n-1維單位球面面積。

埃倫普賴斯（Ehrenpreis）與馬爾格朗熱（Malgrange）證明了每個常係數微分運算元P(D)都存在上述意義下的基本解E(x)。赫爾曼德（Homander）證明了每個常係數微分運算元P(D)都存在緩增函式的基本解。

對於發展型方程的柯西問題，可以定義柯西問題的基本解。

例如，熱傳導方程柯西問題的基本解定義為滿足問題

的廣義函式E(x，t)。它的具體形式為。

基本解在偏微分方程理論中是十分有用的工具，它可以用來構造其他解，或用於研究解的性質。