基本介紹
- 中文名：描述函式法
- 適用範圍：數學
- 別稱：諧波平衡法
- 研究對象：非線性系統研究
- 提出者：P.J.Daniel
- 提出年份：1940年
描述函式,用途,控制系統,準確度,
描述函式
對於一個特性不隨時間變化的非線性元件，輸入是正弦變化並不保證輸出也是正弦變化，但可保證輸出必然是一個周期函式，而且其周期與輸入信號的周期相同。將輸入正弦函式表示為x(t)=Xsinωt,同時把輸出周期函式y(t)展開成傅立葉級數 則非線性元件的描述函式規定為，由輸出的一次諧波分量對輸入正弦函式的振幅之比為模和它們的相位之差為相角組成的一個複函數，其表達式為
描述函式法
描述函式法式中X是正弦輸入的振幅,Y1是輸出的一次諧波分量的振幅,φ1是輸出的一次諧波分量與正弦輸入的相位差。因此，一個非線性元件就可採用由描述函式表征的一個線性元件來等效。這種等效的近似性實質上就是，在使非線性元件與其等效線性元件的輸出偏差均方值為極小意義下的最優逼近。描述函式 N與輸入正弦函式的角頻率ω無關，為輸入正弦函式振幅X的一個複函數。上表列出一些典型的非線性特性的描述函式。
用途
描述函式的一個主要用途是分析非線性控制系統的穩定性，特別是預測系統的自激振盪（周期運動）。對於一類由線性部件和非線性部件構成的閉環控制系統(圖1)，假定其線性部分為最小相位系統並採用頻率回響G（jΩ）表示它的特性,而用描述函式N表示系統中非線性特性的近似等效特性。那么在同一個複數平面上作出G（jΩ） 當Ω由0變化到∞的軌跡和-1/N當X由0變化到∞的軌跡後，就可從這兩個軌跡的相互分布關係得到判斷此類閉環控制系統的穩定性的一些判據。
描述函式法
描述函式法穩定和不穩定判據
如果-1/N 軌跡沒有被G(jΩ)軌跡所包圍,則閉環控制系統是穩定的。而當-1/N 軌跡被 G（jΩ）軌跡所包圍時，閉環控制系統是不穩定的。在前一情況下，系統不會出現自激振盪；在後一情況下，系統輸出將增加到安全裝置所限定的極限值。
自激振盪判據
如果-1/N 軌跡和G（jΩ）軌跡相交，則閉環系統的輸出可能出現自激振盪。這種自激振盪一般不是正弦的，其角頻率值和振幅值分別為交點處G（jΩ）軌跡上的Ω值和-1/N軌跡上的X 值。但是，並非所有交點都能構成穩定自激振盪。只有-1/N軌跡的進行方向是由 G（jΩ）的包圍區過渡到非包圍區的那些交點（如圖2的B點）才能構成穩定自激振盪。
控制系統
描述函式法對於非線性控制系統的綜合，也提供了方便的工具。通過引入適當的校正裝置可以改變系統線性部分頻率回響G（j&owega;）軌跡的形狀，從而使閉環控制系統中不出現自激振盪並確保較好的過渡過程性能。
描述函式法