掃除空間論

簡介

掃除空間論是建立在掃除空間上的公理位勢論，是調和空間論的一個推廣形式。

在空間具有可數基的情況下，該理論概括了不含於調和空間論的里斯位勢論和離散位勢論。該理論由波利特諾(Bliedtner,J.)與漢森(Hansen,W.)建立，其特色是採用掃除理論統一處理了分析與機率位勢論。

掃除空間是調和空間的一個推廣形式。

在具有可數基的拓撲空間X上，一族非負下半連續函式構成的凸錐𝓦滿足下面四條公理時，稱(X,𝓦)為一個掃除空間：

1.𝓦中任何單調增加列的極限函式仍屬於𝓦；

2.對𝓦的任何子集𝓥，其下確界函式g=inf 𝓥關於𝓦細拓撲的下半連續正則化仍屬於𝓦，這個性質稱為下定向公理；

3.若u,f,g∈𝓦使得u≤f+g，則存在v,w∈𝓦使得u=v+w，v≤f且w≤g，這個性質稱為自然分解公理；

4.存在一個由X上的連續函式構成的、滿足一定條件的函式錐𝓟，使得𝓦中的每個函式都可表示為𝓟中某個單調增加列的極限。𝓟中的元素稱為連續位勢。

(probability potential theory)

機率位勢論是研究位勢論與機率論的內在聯繫的新數學分支。

20世紀四五十年代，杜布、角谷靜夫等人發現了經典位勢論與布朗運動的深刻聯繫。

1954年，杜布的論文“半鞍與次調和函式”被公認為是開創了機率與位勢聯繫的研究的新篇章。

20世紀50年代中期以後，亨特(Hunt,G.A.)等人進一步把它推廣到相當一般的馬爾可夫過程，給出更具普遍意義的“位勢”的定義。從此，位勢論的許多概念、性質獲得了明確的機率意義，而分析工具的引人大大促進了機率論的深入發展且又反過來影響位勢論。