指數(群論)

定義

一子群H對群G的指數定義為G對H的陪集的集合的基數，即陪集的數目，記為[G:H ].

引理:

群G 對於子群H的任意二陪集有相間的基數．

證明

只要證任意Orb(g)= {g*h:h∈H}與Orb(e) =H有相同的基數即可.定義由 H到Orb( g )的映射 g*:

g*(h) =*，h∈H .

顯然此映射是既單又滿的，故 H 與Orb( g) 基數相同.

從引理及定義, 我們立得如下的拉格朗日定理；

定理2 若G為有限群，而H為 G 的子群，則

o(G) = [G:H]*o(H).

下面的定理可以闡明“指數”的意義．

定理3 設群G 為集合 S 的變換群， T 為集合 S 的子集， Stab( T ) 為T的穩定群．則在G 的作用下所產生的不同的g (T )的數目等於指數[ G : Stab( T ) ] , 此處 g 是G 的元素．

證明任意取G的二元素

,

. 我們若能證明：

(T) =

(T)

若且唯若

和

屬於G 對 Stab(T) 的同一陪集，定理即得證．

記 Stab ( T ) = H. 如

,

∈g*H, 即存在

,

∈ H ,使得

=g* 忙，

=g*社 ”

則有

(T) =g(h1(T))=o(T) = o ( h2 ( T ) ) 已 f2J( T ·)

反之，若 91(T) = U2(T), 則

ll21*91(T) =U21*U2C'f) =e<T)1=T,

即 g*g1∈H= Stab(T), 也即趴∈ n2T.故 g1, 92屬於同一陪集.

這是一個實例,說明指數的用途.