扭曲幾何

數學與物理學中，特別是在微分幾何與廣義相對論中，扭曲幾何（warped geometry）是度規張量。

基本介紹

• 中文名：扭曲幾何
• 外文名：warped geometry
• 分類：數理科學

簡介

扭曲幾何寫成如下形式的黎曼流形或洛倫茲流形：

注意到幾何可以分解成y幾何與x幾何的卡氏積（Cartesian product），不過x部分受到扭曲，亦即它的大小尺度受到了一個y坐標的標量函式{\displaystyle f(y)}的調整。基於此理由，扭曲幾何的度規常稱為“扭曲積度規”（warped product metric）。

扭曲幾何很有用處，以其可以運用分離變數法來解與它們有關的偏微分方程。

例子

許多愛因斯坦場方程的基本解是為扭曲幾何，比如史瓦西解以及羅伯遜-沃爾克模型。

此外，扭曲幾何是弦論中藍道爾-桑壯模型（Randall-Sundrum models）的基石。

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度量張量

在黎曼幾何裡面，度量張量（英語：Metric tensor）又叫黎曼度量，物理學譯為度規張量，是指一用來衡量度量空間中距離，面積及角度的二階張量。

當選定一個局部坐標系統，度量張量為二階張量一般表示為，也可以用矩陣表示，記作為G或g。而 記號傳統地表示度量張量的協變分量（亦為“矩陣元素”）。

到 的弧線長度定義如下，其中參數定為t，t由a到b:

兩個切矢量的夾角 ,設矢量 和，定義為：

若 為 到 的局部微分同胚，其誘導出的度量張量的矩陣形式 ，由以下方程計算得出：

j表示 的雅可比矩陣，它的轉置為 。著名例子有 之間從極坐標 到直角坐標 的坐標變換，在這例子裡有：

這映射的雅可比矩陣為

所以

這跟微積分里極坐標的黎曼度量, ，一致。