托姆分類定理(Thom classification theorem )是突變理論的核心定理。一個局部函式f：U→R，U⊂Rn，稱為一個奇點，若f(0)=0，∂f/∂xi(0)=0 (i=1，2，…，n)。
基本介紹
- 中文名：托姆分類定理
- 外文名：Thom classification theorem
- 領域：數學
- 學科：突變理論
- 提出：托姆
- 相關：局部微分同胚
概念,突變理論,托姆,
概念
托姆分類定理(Thom classification theorem )是突變理論的核心定理。一個局部函式f：U→R，U⊂Rn，稱為一個奇點，若f(0)=0，∂f/∂xi(0)=0 (i=1，2，…，n)。全體奇點集為m2(n)。設f，g∈m2(n)，若存在局部微分同胚h：U→V，使：
f(x)=g[h(x)] (x∈U)，
則稱f和g是同構的(或等價的)，記為f～g，這裡“局部微分同胚h”是說，h是一個局部坐標變換，使h和逆變換h都有各階偏導數，U，V分別是f，g的定義域。托姆(Thom，R.)用奇點理論的方法證明了下面的分類定理：若f∈m(n)，1≤codf≤4，則：
f(x1，x2，…，xn)～±g(x1，x2，…，xr)+εixi (εi=1或-1， r=1或2)，
其中g為下列7種奇點之一：
突變理論
突變理論(catastrophe theory)是法國數學家托姆(René Thom，1923年9月2日－2002年10月25日 ) 所創立的。它的誕生以托姆在1972年出版的 《結構穩定性與形態發生》一書為標誌。這一理 論運用數學方法來分析事物突變可能有的類 型。眾所周知，事物的量變會引起質變。與主要用來研究量變的通常數學有根本不同的是，突 變理論主要用來研究質變。因此，有人甚至認為這是牛頓以來最重要的科學進展。但實際上突變理論所涉及的質變，只限於動力系統結構的突變(catastrophe，其原意為“災難”)，有很大的 局限性。
在數學上，事物狀態的變化是用微分方程來刻畫的；這種微分方程常被稱為一個動力系統。在這個動力系統中含有某些反映內部結構 或外界條件的參數，而當這些參數處於某些“突變點”時，系統的結構就會發生突變。例如，系統在突變點上會使系統的平衡點(代表可能有的 穩定狀態)個數發生變化，有時一分為二或由無變有，有時合二而一或由有變無等等。突變理論 的主要數學任務在於對各種突變進行分類。而托姆的一大貢獻就是證明了只有摺疊、尖點、燕 尾、橢圓形臍點、雙典形臍點、蝴蝶、拋物形臍點 等7種基本突變。
托姆本人試圖把他的理論用來說明胚胎髮育、海浪形狀、光的焦散、語言變化等有突變的 現象。許多數學家及其他科學家又把這一理論用到各種自然科學和社會科學問題，其中尤其是經濟學、心理學、社會學、政治學等方面的問題。對於這些套用是否得當常常引起許多爭論。其實不少“套用”也只不過是一種突變理論的比喻。然而，突變理論作為可以用來研究質變現象的數學，其重要性是無可爭辯的。
在經濟學中，人們曾企圖用突變理論來研究經濟的突變現象。例如，經濟周期、股票市場的不穩定等等。儘管看來並不很成功，但它所涉及的經濟模型正是被薩德(Sard)定理所排除的 臨界(非正則)經濟，因此具有特殊意義。
托姆
法國數學家，突變論的創始人。1943年求學於巴黎高等師範學校，1946年入斯特拉斯堡大學。1951年獲哲學博士學位。50年代研究高維流形的分類，指出任何兩個流形屬於同一類的充分必要條件。1958年，以“配邊理論”的創造性工作榮獲國際數學界的最高獎——菲爾茲獎。之後，致力於高維空間曲面的研究，用微分的方法分析曲面的奇點，並進行分類，開拓了一門嶄新的領域——奇點理論。1966年起，他運用拓撲學、奇點理論和結構穩定性等數學工具，研究自然界各種形態、結構的不連續的突然變化。1968年在“走向理論生物學”的國際會議上闡述了他的觀點。1972年出版《結構穩定性和形態發生學》一書，系統論述突變理論。認為系統所處的狀態可用一組參數描述，即當系統處於穩定態時，標誌該系統狀態的某個函式取唯一的值(如能量取極小，熵取極大等等)。當參數在某個範圍內變化，該函式值有不止一個極值時，系統就處於不穩定狀態。對從一種穩定態進入不穩定態的系統的參數略作變化，會使處於不穩定態的系統進入另一穩定態，在這一剎那，狀態發生了突變。指出突變理論就是運用數學工具，描述系統的躍遷，給出系統處於穩定態或不穩定態的參數區域，從而證明參數變化時，系統狀態也隨著變化;當參數通過某些特定位置時，系統狀態就會發生突變。他考察由不超過四個自變數的函式決定的曲面，用局部微分同胚的方法考察奇點周圍的性質，得出了七種基本類型：尖角型、摺疊型、燕尾型、蝴蝶型、雙曲型、橢圓型和拋物型，並運用這些模型對胚胎過程、語言現象、海浪形狀、光的聚散加以說明。突變論把人們千百年來關於質變的經驗總結成數學模型，為進一步認識質態轉化的辯證過程提供了科學依據。他早年曾受布爾巴基學派的影響，後逐步擺脫布爾巴基學派的思想影響而形成自己對數學的獨特見解。從60年代末起，積極參加一些社會活動，注重數學的社會作用。主要著作有《結構穩定性和形態發生學》(1972)、《形態發生的數學模型》(1974)等。
