應變能密度

單位體積的彈性應變能稱為彈性應變能密度。應變能密度與桿件無關,只與應力狀態有關。

基本介紹

  • 中文名:應變能密度
  • 外文名:Strain energy density
  • 領域:力學
  • 定義:單位體積的彈性應變能
  • 相關名詞:應變能
概念,彈性應變能,軸向拉壓桿,三向應力狀態,

概念

單位體積的彈性應變能稱為彈性應犁墓故變能密度。

彈性應變能

彈性體受外力作用後,不可避免地要產生變形,同時外力的勢能也要產生變化。根全墊察據熱力學的觀點,外力所做的功,一部分將轉化為彈性體的動能,一部分將轉化為內能;同時,在物體變形過程中,它的溫度也將發生變化,或者從外界吸收熱量,或者道臘訂只向外界發蘭射檔散熱量。現分析彈性體內任一有限部分∑的外力功和內能的變化關係,設彈性體內取出部分Σ的閉合表面為S,它所包圍的體積為V。以δW表示外力由於微小位移增量在取出部分Σ上所作的功,δU表示在該微小變形過程中取出部分Σ的內能增量,δK表示動能增量,δQ表示熱量的變化(表示為功的單位),根據熱力學第一定律,則有
我們首先假設彈性體的變形過程是絕熱的,也就是假設在變形過程中系統沒有熱量的得失。再假設彈性體在外力作用下的變形過程是一個緩慢的過程,在這個過程中,荷載施加得足夠慢,彈性體隨時處於平衡狀態,而且動能變化可以忽略不計(這樣的載入過程稱為準靜態載入過程),則根據上式表示的熱力學第一定律,外力在變形過程中所做的功將全部轉化為內能儲存在彈性體內部。這種貯存在彈性體內部的能量是因變形而獲得的,故稱之為彈性變形能或彈性應變能。由於彈性變形是一個沒有能量耗散的可逆過程,所以,卸載後,彈性應變能姜乎煉府將全部釋放出來。下面,推導單位體積彈性應變能的表達式。
仍以X、Y、Z表示單位體積的外力,表示作用在彈性體內取出部分Σ表面上單位面積的內力。對上述的準靜態載入過程,可以認為彈性體在外力作用下始終處於平衡狀態。外力所作的功W包含兩個部分:一部分是體力X、Y、Z所作的功W1,另一部分是面力所作的功W2,它們分別為
因此,外力由於微小位移增量在取出部分Σ上所作的功δW 可以表示為
將平衡微分方程和靜力邊界條件代入上式,並利用散度定理,上式可化為
最終可推得相應的內能增量δU為
定義函式u0ij),使之滿足
該定義式稱為格林(Green)公式。
則有
由上式可以看出,函式u0ij)表示單位體積的彈性應變能,故稱之為彈性應變能密度函式(或彈性應變比能函式),簡稱為應變能。由於彈性應變能密度函式表示彈性體的內能概念,因此,它必然是一個勢函式,故也稱之為彈性勢函式。
取積分可得
這裡元勸,u0ij)和u0(0)分別表示物體變形之後和未變形時的彈性應變能密度。通常,取u0(0)=0,於是有
根據格林公式,假如u0ij)的具體函式形式能夠確定的夜求訂話,那么,彈性體的應力與應變之間的關係也就完全確定了。這表明,彈性應變能密度函式是彈性材料本構關係的另一種表達形式。

軸向拉壓桿

應變能密度
應變能密度
應變能:
應變能密度:桿件應變能與桿件體積之比。
應變能 —— 是桿件參數,與桿件變形有關。
應變能密度 —— 與桿件無關,只與應力狀態有關。

三向應力狀態

應變能密度
應變能密度
=體積改變能密度
+形狀改變能密度
體積改變能密度:
應變能密度
形狀改變能密度:
體積改變能密度:
應變能密度
形狀改變能密度:

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