悖數學是一種嶄新的、屬於集合論範疇，但卻是集合論中的悖論的數學形式。它以前有羅素、康托爾等人分別發現和提出過幾個孤立的集合論的悖論例子，但還沒人對這一現象作出過專門、系統的數學論述。
基本介紹
- 中文名：悖數學
- 範疇：集合論
- 悖數符號：Bei∮
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百科名片
這種可以用現有的集合理論去涵蓋，去解釋，但還不能嚴格、系統地去計算的集合現象，被稱為悖數現象（也可稱為悖集現象）。
它的內涵是這樣的：
悖：違背，違反，謬誤，遮蔽等意。
悖數就是違反一般數學規律（如實數運算規律），違反邏輯規則或公式的推理，容易產生混亂，與目前人們普遍的認識相衝突的一種數學現象。
它們既矛盾又符合生活真實、自然真實，既不合常理，又是客觀規律和存在。
研究這樣一種以數學和邏輯學中矛盾命題為對象的特異數學，稱之為悖數學。
悖數與實數有互逆的關係。
相關術語與記號
相關術語
悖數是一種未為人們所認識和研究的數學現象，它可以對一些實例進行數學運算，或提供一種數學工
具，如百科名片所述，它系違反一般數學規律，違反邏輯規則或公式的推理，容易產生混亂，與目前人們
普遍認識相衝突的一種數學現象。
記號
這裡我們先設定和採用一些在悖數運算中會用上的記號。其中“Bei∮”是表示悖數的符號，“Bei∮(A)”和Bei∮(B)是悖數，⊥為背反關係符號，↑為結果增大或升級的符號、↓為結果縮小的符號、/為兩種可能出現的結果並列符號，♀表示兩種情況同時存在符號，♂表示集的獨立存在。 首發論文 中國徐智敏：《悖數學初步（副題：一種以悖論問題為研究對象的新數學形式的探討》。
論文內容——主要定義和一般性定理命題一 因果關係出現悖逆，違反一般數學規律和邏輯規則的數學稱為悖數。舉例一：在語文文字中有“他”和“她”兩字分別代表人類“男性”和“女性”，用集合字母代表就分別是集合A和集合B，A=﹛a1，a2，a3，…an﹜，B=﹛b1，b2，b3，…bn﹜。在獨立指稱男性，或混合指稱男女性的時候，用“他”可以專門指稱男性，也可以同時指稱男女性，即集A既等於﹛a1，a2，a3，…an﹜，也等於﹛a1，a2，a3，…an﹜+﹛b1，b2，b3，…bn﹜。也就是說，集合A和集合B在這裡有交和並的關係。舉例二：人類作為一個實體，顯然可以屬於動物而不能屬於微生物或植物。
人和動物都能自主行走、奔跑（微生物情況接近），而植物不能。也就是說，人類可以是動物的子集，而不能是微生物或植物的子集。但同時人類又可以獨立於動物而自成一集，與動物完全隔絕開來。因為抽象思維和語言以及勞動能力使人類成為一種與其他動物完全迥異的生物，那差別至少與動物、微生物和植物的差別一樣大。在這種情況下，人類、動物、微生物和植物四者之間就都是互不相屬的，誰也不是誰的子集，而全是“生物”這種集合的子集。
定義一 悖數前一部分的總和既可以包括後一部分的總和，也可以讓後一部分的總和繼續獨立。前後兩部分相加後集合數一樣。定理一 有集A=﹛a1，a2，a3，…an﹜，集B=﹛b1，b2，b3，…bn﹜，A=A+B和A=A+B♂（為了將前後兩部分區分清楚，總和的“A”該加引號或用粗體）。即實際上已是A=A+B和A=A+B♂，集A=﹛a1，a2，a3，…an﹜+﹛b1，b2，b3，…bn﹜。在這裡我們可以看見，某一子集會在特殊情況下轉化、升級為總集，囊括其他子集。命題二 悖數能升級為總集的子集稱為特異集。定義二 有悖數子集A和子集B，兩者不能相交，但子集A可與子集B相併後成總集A。定理二 有集A=﹛a1，a2，a3，…an﹜，集B=﹛b1，b2，b3，…bn﹜，A=A，A≠B，但A=A+B。為了更好地表明集A具有升級的特性，可將其和其他子集合列成A={A；A+B升級後的A用粗體表明它已升級的性質，則A=↑{A；A+B在這裡↑號表示可增大和升級的性質。命題三 悖數前一部分集與後一部分集分別獨立，在同一總集下，沒有交和並的情況。
舉例三 在獨立指稱男性，或混合指稱男女性的時候，用“他”可以專門指稱男性，也可以同時指稱男女性，但在另外的情況下，女性集與男性集又出現不能交和並的情況。即女性子集不混合任何男性子集而獨立指稱時為“她”，B=﹛b1，b2，b3，…bn﹜。也就是說，女性集B與男性集A在這種狀態下是既不能交，更不能並的。同樣，人類、動物、微生物和植物四者之間也存在這樣的情況。定義三 悖數子集A和子集B同屬總集A，A∩B=φ；A∪B=φ。定理三 有集A=﹛a1，a2，a3，…an﹜，集B=﹛b1，b2，b3，…bn﹜，A≠B；A={A；A+B，則A∩B=φ；A∪B=φ。在上邊的舉例三中，如果生物用S代表，人類、動物、微生物和植物四者分別用A、B、C、D代表的話，用公式表示就分別是：S=A+B+C+D，A∩B∩C∩D=φ。從上邊“他（A）”和“她（B）”、人類（B）和動物（A）的關係里，我們可以看到，B集既可以完全和A集並，又可以完全不和A集並，即使該集中全部是同一子集也如此。
這就出現了矛盾的情況，用現有的集合理論無法對它進行圓滿的解釋和運算，只能創立新概念和新規定，才能使它納入集合論的範疇。出現這種情況時，可以將它定義為子集B屬於集合A，但可以獨立（出現完全不屬於集合A的情況）。這種獨立關係用符號“♂”代表。將兩者的從屬關係連繫在一起用字母表示就是集合A⊂B♂。當我們要對同類問題的多項進行數學運算時，為了能清楚表明它是悖數式，而不是一般的實數式，加進悖數符號變成公式：Bei∮（A1）+Bei∮（A2）+Bei∮（B1♂）+Bei∮（B2♂）= Bei∮（A1+A2）+Bei∮（B1♂+B2♂）。其結果，前一部分的總和仍然既可以包括後一部分的總和，也可以讓其總和繼續獨立。定理四 有寫成悖數為Bei∮（A）的集合A和 屬於集合A，但可以獨立的子集B之集合Bei∮（B♂）。它們的關係有Bei∮（A）+Bei∮（B♂）=Bei∮（A+B♂），或者Bei∮（A1）+Bei∮（A2）+Bei∮（B1♂）+Bei∮（B2♂）= Bei∮（A1+A2）+Bei∮（B1♂+B2♂）= Bei∮[A1+A2+（B1♂）+（B2♂）]。證 設有Bei∮（A）和Bei∮（B♂），A=﹛a1，a2，a3，…an﹜，B=﹛b1，b2，b3，…bn﹜及A=﹛a1，a2，a3，…an+b1，b2，b3，…bn﹜。當它們相加時，有Bei∮（A）+Bei∮（B♂）=Bei∮（A+B♂），即出現兩種悖謬的結果。若A=﹛a1，a2，a3，…an﹜，B=﹛b1，b2，b3，…bn﹜時，Bei∮（A）+Bei∮（B♂）= Bei∮（a1，a2，a3，…an+b1，b2，b3，…bn）；若A=﹛a1，a2，a3，…an+b1，b2，b3，…bn﹜，B=﹛b1，b2，b3，…bn﹜時，Bei∮（A）+Bei∮（B♂）=Bei∮（a1，a2，a3，…an+ b1，b2，b3，…bn）。其結果，同是兩項相加時，重複數消去，集合數是一樣的。
