復直線

復直線(complex line)是射影幾何的基本概念之一，指以複數為坐標的直線，設直線的坐標為[u₁，u₂，u₃]，若u₁，u₂，u₃與三個不全為零的實數成比例，則稱[u₁，u₂，u₃]為實直線。若u₁，u₂，u₃不與任何三個不全為零的實數成比例，則稱[u₁，u₂，u₃]為虛直線。實直線與虛直線合稱為復直線。在平面上引進復點以後，復直線便是坐標滿足直線方程的復點的全體。例如，[1，0，2]與[i，0，2i]為同一條實直線，[i，1，1]是一條虛直線，(0，1，-1)與(i，1，0)都是這直線上的點。

基本介紹

• 中文名：復直線
• 外文名：complex line
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：高等幾何(射影幾何)
• 簡介：以複數為坐標的直線

基本概念

復點、復直線 以複數為坐標的點或直線稱為復點或復直線。

復元素 復點和復直線統稱復元素。

共軛復元素 若 為一元素的齊次坐標時， 為另一同類元素的齊次坐標，則此二元素叫做共軛復元素。

兩個非無窮遠共軛復元素，其非齊次坐標必為共軛複數。

兩個共軛復元素的齊次坐標不一定為共軛複數，原因是齊次坐標可以相差一個常數因子。

復點 和復直線 的結合關係為

相關概念

如果x,y這兩個數都是複數，那么就稱(x，y)為一個有窮遠復點；如果x，y至少有一個是虛數，則稱(x，y)為一個有窮遠虛點；如果x，y都是實數，則稱(x,y)為一個有窮遠實點。

可對有窮遠復點(x，y)定義齊次坐標為：如果複數 滿足 ，則稱( )為有窮遠復點(x，y)的齊次坐標．此時 。如果 為複數，則稱 為無窮遠復點的齊次坐標。有窮遠復點與無窮遠復點統稱為復點。所有復點的集合稱為復射影平面。復點的齊次坐標不是唯一；同一復點的齊次坐標可以相差一個非零復因子；(0，0，0)不是任何復點的齊次坐標。

下面我們用i表示虛數單位。

一個虛齊次坐標有可能代表一個實點。例如(i，2i，-i)就代表實點(-1，-2)。一個復齊次坐標( 鉑)代表實點的充分必要條件是它與實齊次坐標( )成比例。

滿足齊次方程 的復點( )的集合稱為復直線，其係數[ ]稱為該復直線的齊次坐標。

設復點P的齊次坐標為( )，則稱齊次坐標為的點為點P的共軛復點；設復直線l的齊次坐標為[]，則稱齊次坐標為]的復直線l為復直線l的共軛復直線。

我們把點I(1，i，0)和點J(1，-i，0)叫做圓點，過圓點I或J的直線叫做迷向直線。

共軛復點和共軛復直線統稱為共軛復元素。注意，一對同類共軛復元素的齊次坐標不

必為共軛複數，因為同一點的齊次坐標可以相差一個非零複數。例如(2，i，1-i)與(2+2i，1-i，2i)是一對共軛復點的齊次坐標，這是因為

(2+2i，1-i，2i)=(1+i)(2，-i，1+i)=．

但顯然(2，i，1-i)與(2+2i，1-i，2i)不是共軛複數。

相關定理

定理1 一元素為實元素的充要條件是該元素與其共軛復元素重合。

定理2 如果一點x在一直線u上，則共軛復點必在共軛直線上。

定理3 兩共軛復直線的交點為一實點，兩共軛復點的連線為一實直線。

推論 在一復直線上有唯一一個實點，過一復點有唯一一條實直線。

註：一實直線上的點或為實點或為一共軛復點；過一實點的直線或為一實直線或為一共軛復直線。