彈性應變梯度問題的有限元方法

《彈性應變梯度問題的有限元方法》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由張碩擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：彈性應變梯度問題的有限元方法
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：張碩
• 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院

項目摘要

對於線性彈性應變梯度理論及其有限元方法，相關的數學方面的工作是空白。本項目對全應變梯度問題和偶應力問題這兩個典型模型，分別研究對應的微分方程邊值問題的某些性質、抽象有限元格式、抽象有限元格式的穩定條件和收斂條件、抽象有限元格式的誤差估計等。最終，給出若干具體的穩定的有限元格式。

結題摘要

力學中的應變梯度理論使用位移的高階導數刻畫連續體的微小形變或微觀結構的影響，對應的數學模型常具有帶多重參數的四階橢圓形方程的形式，其數值求解是具有重要套用意義的課題，也具有一定難度，對數值方法的發展具有顯著的推動意義。本項目以應變梯度理論的兩個典型模型——全應變模型和偶應力問題為驅動，研究四階帶參數系統的數值方法，首先在一般理論上取得進展，以此推動在目標問題上取得突破。主要研究成果有：1）以偶應變問題對應的H1(curl) 問題為驅動，研究了一般四階問題的穩定的有限元格式構造，提出一套一般性的有限元方法設計框架，並在無附加假設的情況下，通過多種四階問題驗證了該框架的有效性；2）從技術積累的角度出發，研究了具有典範意義的雙調和方程和不可壓Stokes問題的低次格式的構造，取得了不同於教科書表述及學界一般看法的結果；3）研究了全應變模型的離散，設計了一套對參數魯棒的有限元方法；研究了偶應力問題的離散，設計了一套易於實現，可以快速求解的有限元方法；4）在有限元方法的其它基礎性課題上取得一些進展。通過本項目的研究，一方面深化了對應變梯度理論典型模型的理解，為其在實際工程中的套用積累了計算方法的儲備，另一方面，給一般四階問題的數值方法及一般的數值分析學科提供了新的研究課題和視角，為後續研究開闢了思路方向。