彈性力學複變函數方法

用複變函數求解彈性力學問題的方法，主要用於求解平面問題。

基本介紹

• 中文名：彈性力學複變函數方法
• 外文名：Complexvariable method in theory of elasticity 
• 含義：用複變函數求解彈性力學問題
• 套用對象：平面問題
• 套用範圍：線彈性斷裂力學

正文

在彈性力學平面問題中，基本方程是雙調和方程，即ΔΔφ=0，式中Δ為拉普拉斯微分算符,φ是艾里應力函式（見應力函式和位移函式）。將雙調和方程表示為複變函數形式，即

式中z=x+iy為復變數；z槓為z的共軛，此方程的通解為：

式中ψ(z)、χ(z)為任意解析複變函數；Re表示複變函數實部。所以彈性力學平面問題就歸結為求解兩個滿足用複數表示的彈性力學邊界條件的複變函數ψ(z)和χ(z)。對於各向同性材料，平面問題的應力位移與ψ(z)、χ(z)的關係為：

式中σx、σy、τxy為應力分量；i=刧；u、v為位移分量；G為剪下模量（見材料的力學性能）;函式上的橫線表示復共軛；K為常數。對平面應變問題,K=3-4ν；對平面應力問題，，式中ν為泊松比。

優點

同彈性力學中的實函式方法相比，複變函數方法有如下優點：①實函式解法常常是針對特殊問題尋求一種特殊的應力函式，而複變函數方法具有一般性；②對於多連通域的彈性平面問題，用實函式求解十分困難，而用複變函數方法可以獲得一些問題的解析解；③對於位移邊值問題及位移和力的混合邊值問題，用複變函數方法比用實函式方法容易求解；④可利用保角變換和柯西型積分求出許多邊界形狀複雜問題的解析解。

發展

用複變函數表示雙調和函式是法國的┵.J.B.古爾薩在1898年首先提出的。俄國的Г.В.科洛索夫在1909年將複變函數套用於彈性力學的平面問題。蘇聯的Н.И.穆斯赫利什維利曾對更為一般的彈性力學平面邊值問題進行嚴格的論證，並建立了完整的彈性力學複變函數方法。他在1933年發表的《數學彈性力學的幾個基本問題》一書中發展了平面彈性理論的一般解法，該書獲得了很高的評價。20世紀50年代前後，蘇聯的Г.Н.薩溫利用複變函數方法解決了大量的應力集中問題。60年代以後，複變函數方法在線彈性斷裂力學中得到廣泛的套用和發展，但在解決三維彈性力學問題方面，還存在一定的困難。