弱譜積分

弱譜積分（weak spectral integral）是一個與譜測度相聯繫的積分。

基本介紹

• 中文名：弱譜積分
• 外文名：weak spectral integral
• 適用範圍：數理科學

簡介

譜積分與譜測度相聯繫的積分。

設(Ω,𝓑,E)是希爾伯特空間 H 上的譜測度空間，則對任何 x,y∈H，集函式

是(Ω,𝓑)上的複測度，B(Ω,𝓑)表示可測空間(Ω,𝓑)上有界可測函式全體，則對 f∈B(Ω,𝓑)，存在確定的有界線性運算元 T_f，使對一切x,y∈H，

稱運算元T_f是f關於(Ω,𝓑,E) 的（弱）譜積分，記為

推廣

對實函式 f∈B(Ω,𝓑)，m<f(t)<M(t∈Ω)，做分點組D:m=t₀<t₁<...<t_n=M，再做和式

記 ，必存在有界線性運算元T'_f，使得

稱T'_f為f關於(Ω,𝓑,E)的（一致）譜積分，注意T_f=T'_f，所以一致譜積分仍記為

對於複函數f ，規定

這裡 f₁，f₂分別為f的實部和虛部。

性質

關於譜積分有下列性質：

1、（線性性）

2、（壓縮性）

3、（共軛性）

4、（可乘性）

這是普通數值積分沒有的重要性質，譜積分的概念還可推廣到無界可測函式的情況。