廣義費馬數是一類公式，是數學家在研究費爾馬數的同時又開始研究所謂廣義費爾馬數：Fn(x)=x^2^n+1 (n=0,1,2,...;x=1,2,3,...）。
基本介紹
- 中文名：廣義費馬數
- 性質：現象
- 特徵：在研究費爾馬數的同時
- 優點：Fn(x)=x^2^n+1
簡介,例如,
簡介
在研究費爾馬數的同時，人們又開始研究所謂廣義費爾馬數：Fn(x)=x^2^n+1 (n=0,1,2,...;x=1,2,3,...）
顯然，Fn(2)就是費爾馬數。80年代，美國和日本的數學家們利用電子計算機進行了大量研究，獲得了一些成果。
例如
當2=<x=<1000時，確定了
F0(x)=x+1 有167個素數
F1(x)=x^2+1 有111個素數
F2(x)=x^4+1 有110個素數
F3(x)=x^8+1 有40個素數
F4(x)=x^16+1 有48個素數
F5(x)=x^32+1 有22個素數
F6(x)=x^64+1 有8個素數
F7(x)=x^128+1 有7個素數
F8(x)=x^256+1 有4個素數
並且發現了九個300位以上的廣義費爾馬素數，它們是：F7(234)是304位，F7(506)是347位，F7(532)是349位，F7(548)是351位，F7(960)是382位。F8(278)是626位，F8(614)是714位，F8(892)是756位，F8(898)是757位。
關於廣義費爾馬數的未解決的問題有很多，例如，形如F1(x)=x^2+1的素數個數是無窮多個嗎？
x的範圍 素數x^2+1的個數
x=<10000 842
x=<100000 6656
x=<180000 11223
人們推測F1(x)有無窮多個素數，英國數學家哈代等人作了更精確的猜想：
不超過m的形如F1(x)=x^2+1的素數個數p(m)是：p(m)約=1.3727m^(1/2)/(lnm), 確切地說，當m趨於正無窮時，p(m)*lnm/m^(1/2)->c約=1.3727.但是未獲得證明或推翻。
