基本介紹
定義,簡介,代數定義,代數,範疇論,比較定義,頂點組,舉例,線性代數,拓撲,等價關係,李群和李代數,
定義
簡介
具有替代二進制的部分功能的組；每個度都是可逆的範疇。 這種範疇可以被看作是增加一個一元的操作，通過類比與組理論相反。注意，只有一個對象物體的廣群是普通組。
特殊情況包括：
集群，即：具有等價關係的集合；
G集，配備G組集。
廣群通常用於推理幾何對象，如多面體。 海因里希·布蘭特（Heinrich Brandt，1927）通過勃蘭特半群隱含地介紹了廣群。
代數定義
廣群是由非空集合G和在G上定義的二進制部分函式“
”組成的代數結構（G， ）。
代數
廣群是一個集合G，具有一元操作
和部分函式
。 這裡 不是一個二進制的操作，因為它不一定被定義為所有可能的G元素對。 在這裡定義的精確條件在這裡沒有闡述，並因情況而異。
（1）關聯性：如果定義了a b和b c，則（a b） c和a （b c）也被定義。 相反，如果這兩個最後兩個表達式中的任何一個被定義，那么另一個表達式也是如此。
（2）反向：a a和a a始終被定義。
（3）如果定義了 b，則a b b = a和a a b = b。 （前兩個公理已經表明這些表達式是定義和明確的。）
從這些公理，兩個簡單方便的屬性如下：
（a） = a;
如果a b被定義，則（a b）= b a。
範疇論
廣群是一個小範疇，其中每個態射是同構的，即可逆的。更準確地說，一個廣群G是：
（1）一組G0的對象；
（2）對於G0中的每個對象x和y，從x到y存在一個（可能是空的）集合G（x，y）的態射（或箭頭）。 我們寫f：x→y表示f是G（x，y）的元素。
（3）對於每個對象x，G（x，x）的指定元idx。
（4）對於對象x，y和z的每個三元組，函式
：
。
（5）對於每對物體x，ya函式
：
滿足，對於任何f：x→y，g：y→z和h：z→w：
和
和
如果f是G（x，y）的元素，則x被稱為f的源，寫入s（f），y被稱為f（寫入t（f））的目標。
比較定義
代數和範疇論定義是相同的。 給定範疇論中的群體，令G是所有集合G（x，y）（即從x到y的態射集合）的不相交並集。
然後comp和inv在G上成為部分定義的操作，inv實際上將被定義在任何地方; 所以我們定義 為comp和為inv。 因此，我們有一個代數意義上的群體。 可以刪除對G0的明確引用。
相反，給定代數意義上的群G，令G0是x x形式的所有元素的集合，其中x通過G變化並定義
作為所有元素的集合f這樣
存在。考慮
和
他們的複合體被定義為
看到這是很明確的，因為
和
存在，也是如此
x x上的身份態射就是xx本身，f的類別理論反向是f。上面定義中的集合可以被類替換，類別理論通常是這樣。
頂點組
給定一個群體G，G中的頂點組或各向同性組或對象組是G（x，x）形式的子集，其中x是G的任何對象。從上面的公理可以很容易地看出，這些確實是組， 因為每對元素都是可組合的，並且反轉在同一個頂點組中。
舉例
線性代數
給定一個欄位K，相應的一般線性組GL *（K）由任何大小的所有可逆矩陣組成，其條目範圍超過K.矩陣乘法解釋組合。 如果G = GL *（K），則自然數集合是G0的子集，因為對於每個自然數n，存在維度n的相應單位矩陣。 除非m = n，否則G（m，n）為空，在這種情況下，它是所有nxn可逆矩陣的集合。
拓撲
給定拓撲空間X，令G0為集合X.從點p到點q的態射是從p到q的連續路徑的等價類，如果它們是同位素，則兩條路徑是等效的。 兩個這樣的態射是由第一個路徑組成的，然後是第二個路徑；同倫對等性保證這個組合是相關的。 這個群體稱為X的基本群體，表示為
。 通常的基本組
則是點x的頂點組。
這個想法的一個重要的拓撲是考慮基本的廣群
，其中A是一組“基點”和X的子集。 只考慮其端點屬於A的路徑。是子類。 集合A可以根據幾何形狀的情況來選擇。
等價關係
如果X是由
表示的等價關係的集合，則可以形成“表示”等價關係的組類型如下：
（1）群體的對象是X的元素；
（2）對於X中的任何兩個元素x和y，若且唯若x〜y時，存在從x到y的單個態射。
李群和李代數
在研究幾何物體時，出現的群體通常帶有一些可微分的結構，將它們變成李群。 這些可以用李代數來研究，類似於李群和李代數之間的關係。
