庫雷巴假設(Kurepas hypothesis)簡稱KH. 一個著名的組合論問題.設K為任意正規基數。
基本介紹
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(T,<)為一棵高度為K的樹，若T的每個水平的基數均小於K，且T至少有K+條路徑，則稱<T,<)為一棵K庫雷巴樹，命題“存在K庫雷巴樹”稱為K庫雷巴假設，記為KH(動.所謂庫雷巴假設是指存在p庫雷巴樹，記為KH，因此KH即為KH<}c).相應地，。，庫雷巴樹稱為庫雷巴樹.從直觀上講，如果對樹中的每個水平的基數加以限制，則樹中所含的路徑的條數也受到了限制.但當K一。時，高度為。的完全二叉樹有2‘條路徑，由2},im+，因此。庫雷巴樹存在，即KH(c}).同理，當K為強不可達基數時，高度為K的完全二叉樹也是一棵K蘇斯林樹.人們自然會問，當}c>。且不是強不可達基數時，庫雷巴樹是否仍然成立?特別是當K一。1時，是否存在。:庫雷巴樹?斯特瓦特((Stewart, I.)利用力迫法證明庫雷巴假設相容於ZFC系統，但未公開發表其結果.1971年，他利用疊代力迫法證明了若ZFC十“強不可達基數存在”相容，則ZFC}-} KH也相容，從而證明了庫雷巴假設在ZFC系統中不可證.以色列學者索洛韋(Solovay, R. M.)於1972年利用延森(Jensen,R.)的結果證明了可構造性公理蘊含了庫雷巴假設，從而最終證明庫雷巴假設相容且獨立於ZFC系統.關於一般K庫雷巴樹的存在性則相當複雜.延森(Jessen,R.)與索洛韋證明若可構造性公理成立，則對每個正規基數}c ,“庫雷巴樹存在”等價於氣不是不可表達基數”.西爾維((Silver, J.)於1971年證明對某些“非特別”的正規基數K，在ZFC系統中可以證明K+庫雷巴樹存在.
KH (}c)有一種等價的純組合論表述形式:設K為正規基數,,0} C,9(}c)，若}c}})}c+，且
則稱.夕一為一個K庫雷巴簇.對任何正規基數K，存在K庫雷巴簇，等價於KH (}c).庫雷巴假設是庫雷巴(Kurepa , D.)於1935年以庫雷巴簇的形式提出的.目前關於庫雷巴樹的研究不僅仍然是無窮組合論研究的課題之一，而且在許多數學領域得到了廣泛的套用.
