庫恩塔克條件

亦稱“K-T條件”，庫恩塔克條件(Kuhn-Tucker conditions)是非線性規劃領域裡最重要的理論成果之一，是確定某點為極值點的必要條件。如果所討論的規劃是凸規劃，那么庫恩-塔克條件也是充分條件。

基本介紹

• 中文名：庫恩塔克條件
• 外文名：Kuhn-Tucker conditions
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：運籌學(非線性規劃)
• 別稱：K-T條件

基本介紹

庫恩-塔克爾條件(Kuhn-Tucker condition)是判定約束非線性規劃問題的某可行點為極小點的必要條件。對於凸規劃來說，則是判別極小點的充分必要條件。對於約束非線性規劃問題(NP)(參見“非線性規劃”)，設其中和在R的某一開集上一階連續可微，是問題的極小點，且是約束條件的正則點，則存在向量及μ=(μ₁，μ₂，…，μ_q)，使得

此即為所考慮約束非線性規劃問題(NP)的庫恩-塔克爾條件，也稱一階必要條件，稱為庫恩-塔克爾乘子。由上述庫恩-塔克爾條件可知，只有當在點為起作用約束時，可以有否則，。1951年，庫恩(H.W.Kuhn)和塔克爾(A.W.Tucker)證明了這一條件，為非線性規劃奠定了重要理論基礎。

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令及考慮如下最最佳化問題:

點集叫做可行集。如果在某一特定的，有，則稱第個約束是起作用的約束； 否則就稱第個約束不起作用，或是一鬆弛的約束。

令為在處起作用的約束的梯度集：

={對於所有的滿足}。

如果向量集是線性無關的，那么稱約束包成立。

庫恩一塔克定理

如果是(1)的解且約束包在成立。那么存在一組庫恩一塔克乘子使得。進一步地，有互補鬆弛條件：

對於所有的；

當。

比較庫恩-塔克定理與拉格朗日定理，可以發現主要區別在於庫恩-塔克乘子的符號是非負的，而拉格朗日乘子可以是任意一個數，這一增加的信息優勢可以是很有用的。當然，庫恩-塔克定理僅是極大值條件的一個必要條件,然而，在一個重要的情形里，它是必要且充分的。

庫恩一塔克充分條件

假設是一凹函式，是一凸函式，，令為一可行點，並假設我們能夠找到非負數值，使得。那么是極大化問題(1)的解。