平集格(lattice of flats)是一種組合構形。在偏序集P=(E，≤)上所有平集構成的格L，其序關係為集合包容關係。
基本介紹
- 中文名：平集格
- 外文名：lattice of flats
- 領域：數學
- 學科：集合論
- 性質：一種組合構形
- 集：偏序集
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概念
平集格(lattice of flats)是一種組合構形。在偏序集P=(E，≤)上所有平集構成的格L，其序關係為集合包容關係。在平集格L中，交運算為S∧T=S∩T，而結運算為S∨T=∩{A∈L|S∪TA}，即L中包容S和T之並集的所有集合的交集。
格
“格”一種特殊的偏序集。在許多數學對象中，所考慮的元素之間具有某種順序。
例如，一組實數間的大小順序；一個集合的諸子集（或某些子集）間按（被包含）所成的順序 ；一組命題間按蘊涵所成的順序；等等。這種順序一般不是全序，即不是任意二元素間都能排列順序，而是在部分元素間的一種順序即偏序（半序）。偏序集和格就是研究順序的性質及作用而產生的概念和理論。
格論在代數學、射影幾何學、集合論、數理邏輯、泛函分析以及機率論等許多數學分支中都有套用。例如，在代數學中，對於一個群G與其子群格（G）之間關 系的研究。在數理邏輯中，關於不可解度的研究。
格的定義：設（L，≤）是偏序集，若L中任意兩個元素都存在上確界以及下確界，則稱（L，≤）是格（lattice），為了方便，這樣的格成為偏序格。
格論
格論論述次序及包含的性質，是布爾代數的推廣，現已成為代數的重要組成部分，並在泛函分析、賦值論、幾何、邏輯、計算機科學、圖論等方面有廣泛的套用。所謂格即指在集合L中定義兩個代數運算∨和∧，這兩個代數運算滿足：(1)a∨a = a ， a∧ a = a(冪等律)；(2)a ∨ b = b ∨ a，a ∧ b=b ∧ a(交換律)；(3)a ∨交換律；(3)a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨c，a ∧ b(b ∧ c)=(a∧b) ∧ c(結合律)；(4)a ∨ (a ∧b)=a，a ∧ (a∨ b)=a(吸收律)，記作(L，≤)。格論中最重要的概念是集合上的半序關係。格的種類有分配格、模格、完全格等。
偏序集
設A是一個集合，若在A記憶體在一個關係“≤”，它滿足：
①反身性 對於任何a∈A，有a≤a；
②反對稱性 對於a，b∈A，若a≤b，且b≤a，則a=b；
③傳遞性 對於a，b，c∈A，若a≤b，b≤c，則a≤c。
則稱“≤”是集合A的一個偏序關係，也稱作半有序關係。
如果a≤b，就叫做a不在b的後面，或b不在a的前面。
在一個集合A內，如果建立了一個偏序關係≤，就稱集合A對於關係≤成為一個偏序集，也稱作半有序集。記作(A，≤)。
由上述定義可知，偏序集就是一個集合A加上一個偏序關係≤。
例如，實數集R對於關係“≤”構成偏序集(R，≤)。
再如，設I是一個全集，冪集P(I)對於關係“⊂”是一個偏序關係，(P(I)，⊂)是一個偏序集。值得注意的是，當A，B⊂P(I)，且A∩B=Φ時，A⊂B和B⊂A都不成立，但這不要緊，因為定義中不要求對於A中的任意兩個元素a和b，a≤b或b≤a必有一個成立，這就是說，它只要求這種順序關係≤在部分元素中成立。
集合論
集合論是以研究集合概念及其運算、集合中元素的序與關係、無 究集合的基數為對象的數學分支。 集合論是現代數學的基礎，所有數 學概念的精確定義都有賴於集合論。
集合論中的中心難點是無究集合的概念。分析的嚴密化促使人們 探索實數集合的結構，從而必然導 致無究集合概念的出現。但在很長一段時間內，包括高斯(Gauss， C.F.)、柯希(Cauch，A.L.)在內的 眾多數學家不承認無究集合的存 在。波爾察諾 (Bolzano，B.)在 《無究悖論》(1851)一書中維護了 實在無究集合的存在性，但在遇到 矛盾時，又得出對於超限數無需建 立運算不用深入研究的結論。康托 (Cantor，G.)致力於無究集合的研 究，從1874年開始在 《數學年 鑒》數學雜誌上發表了一系列文 章，奠定了集合論的基礎。
“集合”一詞在通常意義下指具 有共同屬性的事物或同類事物的匯總。康托所給的定義帶有哲學的味 道： 集合是我們的感覺或者思維所 完全確定的某些對象匯總成一個整 體的結果。構成集合的對象稱為元素。由羅素(Russell，B.)給出的悖論指出了上述定義蘊含著矛盾，從 而表明集合這一概念難以有準確的 數學表述。為克服上述矛盾，從 20世紀初開始發展起來的集合論公理系統，它包含4個基本原則：
(1)外延性原則。兩個具有相同元素的集合是恆等的。
(2)集合構造原則。一定的限制類型的命題方能定義集合。
(3)無究集合的存在原理。
(4)選擇公理。如果S為非空集的一個系統，那么存在一集合 A，它與S中每個集合有且僅有一個公共元素。
