《常微分方程偽幾乎自守問題的Massera型定理研究》是依託深圳大學，由李蘭擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：常微分方程偽幾乎自守問題的Massera型定理研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：李蘭
- 依託單位：深圳大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目屬於套用基礎研究，主要包含以下內容。1.作為近幾年來的新興理論，常微分方程的偽幾乎自守問題引起廣泛關注。目前討論偽幾乎自守解存在性的工具主要是壓縮映射原理，少數研究中採用不動點定理。前期工作中，我們已經考慮了滿足指數三分性的線性和非線性常微分方程，利用Schauder不動點理論得到了偽幾乎自守解的存在性；本項目中將進一步討論發展方程以及高階方程，同樣給出偽幾乎自守解存在的Lerry-Schauder型定理。2.研究微分方程定性理論的經典工具Massera定理已經套用在周期解、概周期解和幾乎自守解的存在性研究中，本項目我們將採用諸如譜理論等方法來證明偽幾乎自守解的Massera型定理，即若所考慮方程存在滿足一定條件的有界解，那么此有界解就是原方程的偽幾乎自守解。3.關於微分方程偽幾乎自守問題的實際套用比較少，我們將致力於此方面的研究，建立相關的數學物理模型或經濟模型並通過算法實現。
結題摘要
微分方程的相關研究和套用在自然科學中占有很重要的地位，由於絕大多數微分方程不能用初等函式的積分來表出通解，而且在工程、物理學、天文學中出現的微分方程又並不一定要求出解，而只需要知道解的某些性質，因此定性理論在微分方程理論研究和實際套用上都占有重要地位。也就是說，無論線性的還是非線性的方程，我們只需要研究右端函式的性質，從而得到微分方程解的存在性，唯一性和穩定性等特點。本項目正是基於此思想，研究了包括一階和二階，線性和非線性微分方程當右端函式是概周期的、幾乎自守的以及偽幾乎自守時，方程的解的存在性問題，並套用到生態、物理、經濟等模型，具有重要的現實意義。 項目前期，在之前的工作基礎上，研究了具有指數三分性的常微分方程的偽幾乎自守問題，利用Schauder不動點理論得到了偽幾乎自守解的存在性，並且將進一步討論了發展方程偽幾乎自守解的存在性。項目中期，繼續深入研究微分方程定性理論，研究了二階時標常微分方程的概周期解問題；同時期研究已有文獻中提出的概周期解和幾乎自守解存在的Massera型定理，特別是在證明過程中採用的函式的譜的理論，針對已經提出的非線性方程偽幾乎自守解的Massera型定理，嘗試給出新的證明方法。項目後期，我們的重心轉移到研究微分方程定性理論的實際套用，重點研究微分方程偽幾乎自守問題在數學建模、物理以及經濟等方面的套用，同時著手進行交叉學科方向的研究，利用微分方程解決幾何曲面問題。
