希臘拉丁方

希臘拉丁方亦稱“正交拉丁方”，試驗設計的一種。由兩個互相正交的拉丁方重疊而成。本質上可以與正交表互變。三階希臘拉丁方可用於四因子，每個因子各有三個水平的析因，其中行、列位置的拉丁字母、希臘字母各可代表一個因子。每個因子的水平與其他三個因子的任一水平的組合， 出現並只出現一次。其基本假設同拉丁方。不存在階數為6的希臘拉丁方。多於三階的正交拉丁方稱為超希臘拉丁方。

基本介紹

• 中文名：希臘拉丁方
• 外文名：Graeco-Latin square
• 別稱：正交拉丁方
• 所屬學科：數學（統計學）
• 性質：試驗設計的一種
• 簡介：由兩個互相正交的拉丁方重疊而成

基本介紹

由兩個同階拉丁方疊合而得到的拉丁方，稱做希臘-拉丁方。把兩個拉丁方

圖1

相疊合，得到一個新的方陣

圖2

它仍然是一個拉丁方；因此是希臘一拉丁方。並非任何兩個拉丁方疊合都能得到拉丁方，但是兩個相互正交的拉丁方相疊合一定是希臘-拉丁方。

稱兩個同階拉丁方為正交的，如果兩個拉西方疊合得到的方陣仍然是拉丁方，即兩個拉丁方的字母每一種可能的兩兩組合，在所得方陣中的各行和行列中都恰好出現一次。兩個正交拉丁方相疊合所得拉丁方稱做“希臘-拉丁方”。例如，下面的三個四階拉丁方是兩兩正交的。

圖3

可以證明，對於任意 和6，都存在相互正交的拉丁方；在N_n個n階拉丁方中，最多有n-1個兩兩正交的拉丁方。假如恰有n-1個n階正交拉丁方，則稱它們構成正交拉丁方完全系；當 為素數或某個素數冪時，都存在n-1個兩兩正交的拉丁方，它們構成正交拉丁方完全系。對於不同的n≥3，有編制好的正交拉丁方完全系或部分正交拉丁方。

希臘拉丁方設計

兩個拉丁方是正交的，如果兩個拉丁方有這樣的性質：把一個拉丁方疊合到另一個拉丁方上時，每對字母出現且只出現一次。 為了區分兩個拉丁方字母變數，習慣上以拉丁字母A，B和C表示一個拉丁方，而用希臘字母 表示另一拉丁方，下面兩個重疊的拉丁方被稱為是一個希臘拉丁方(Graeco-Latin square)。

圖4

我們知道，對於素數冪k，k階希臘拉丁方等價於k水平部分因析設計，因此，前者的構造可由後者的結構得到。階數高於8的拉丁方和希臘拉丁方很少用到，因為難以控制大區組內的差異使得基於更高階方的分區組效率較低。

希臘拉丁方設計可用於處理比較，其中拉丁字母表示處理，而行、列和希臘字母表示三個分區組變數。例如考慮一個比較三種汽油添加劑的試驗，試驗在三輛汽車上由三個司機在三天內完成．添加劑為處理因子，分配到拉丁字母上；汽車、司機和天是分區組變數分別分配到上面的3x3希臘拉丁方中的三個行、列和希臘字母上，另外，當有兩個分區組變數(由行和列表示)出現時它可用來研究由拉丁和希臘字母代表的兩個處理因子。

因為其分析類似於拉丁方設計，所以下面的討論就可以簡略些。希臘拉丁方設計的線性模型是

其中i和j代表行和列， ，而 和m隨 希臘拉丁方的設定變化， 是第i個行效應， 是第j個列效應， 是第l個拉丁字母的處理效應， 是第m個希臘字母的處理效應， 相互獨立且服從 ， 的k²個值由集合S表示。

希臘拉丁方設計的ANOVA表總結在表1中，注意表1中的殘差平方和是通過(修正)總平方和減去前四行的平方和得到的。

表1 希臘拉丁方設計的ANOVA表

來源	自由度	平方和
行	k-1
列	k-1
拉丁字母	k-1
希臘字母	k-1
殘差	(k-3)(k-1)	由減法得到
總計	k^2-1

超希臘拉丁方(Hyper-Graeco-Latin square)可通過疊置三個或更多個相互正交的拉丁方作為希臘拉丁方的推廣而得到。